Номер 3.23, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.23, страница 124.

Условие.

3.23 Решите уравнение:

a) $2z^3 - z^2 - 10z = 0;$

б) $10x^4 + 3x^3 - 18x^2 = 0;$

в) $3y^4 - 6y^3 + 3y^2 = 0;$

г) $4u^3 - 12u^2 + 9u = 0.$

Подсказка. Левую часть уравнения разложите на множители.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $2z^3 - z^2 - 10z = 0$

Следуя подсказке, разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем общий множитель $z$ за скобки:

$z(2z^2 - z - 10) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

1) $z = 0$

2) $2z^2 - z - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

Теперь найдем корни уравнения:

$z_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

$z_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2; 0; 2.5$.

б) $10x^4 + 3x^3 - 18x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(10x^2 + 3x - 18) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 = 0 \implies x = 0$

2) $10x^2 + 3x - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-18) = 9 + 720 = 729$

Найдем корни:

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2 \cdot 10} = \frac{-3 + 27}{20} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} = 1.2$

$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 27}{2 \cdot 10} = \frac{-30}{20} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Таким образом, у уравнения три корня.

Ответ: $-1.5; 0; 1.2$.

в) $3y^4 - 6y^3 + 3y^2 = 0$

Вынесем общий множитель $3y^2$ за скобки:

$3y^2(y^2 - 2y + 1) = 0$

Заметим, что выражение в скобках является формулой квадрата разности: $y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2$.

Тогда уравнение принимает вид:

$3y^2(y - 1)^2 = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $3y^2 = 0 \implies y = 0$

2) $(y - 1)^2 = 0 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 1$.

г) $4u^3 - 12u^2 + 9u = 0$

Вынесем общий множитель $u$ за скобки:

$u(4u^2 - 12u + 9) = 0$

Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $4u^2 - 12u + 9 = (2u)^2 - 2 \cdot (2u) \cdot 3 + 3^2 = (2u-3)^2$.

Уравнение можно переписать в виде:

$u(2u - 3)^2 = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $u = 0$

2) $(2u - 3)^2 = 0 \implies 2u - 3 = 0 \implies 2u = 3 \implies u = \frac{3}{2} = 1.5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 1.5$.