Номер 3.17, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.17, страница 123.

Условие.

3.17 а) $10x^2 + 30x + 20 = 0;$

б) $-2x^2 - 10x - 8 = 0;$

в) $1,5y^2 + 4y + 2,5 = 0;$

г) $-0,8z^2 + 0,4z + 2,4 = 0.$

Совет. Упростите уравнение, разделив обе его части на одно и то же число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $10x^2 + 30x + 20 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 10, так как все коэффициенты (10, 30, 20) делятся на 10 без остатка.

$\frac{10x^2}{10} + \frac{30x}{10} + \frac{20}{10} = \frac{0}{10}$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Получили приведенное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a=1$, $b=3$, $c=2$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: -2; -1.

б) $-2x^2 - 10x - 8 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на -2.

$\frac{-2x^2}{-2} - \frac{10x}{-2} - \frac{8}{-2} = \frac{0}{-2}$

$x^2 + 5x + 4 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Здесь $a=1$, $b=5$, $c=4$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: -4; -1.

в) $1,5y^2 + 4y + 2,5 = 0$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на 2.

$2 \cdot (1,5y^2 + 4y + 2,5) = 2 \cdot 0$

$3y^2 + 8y + 5 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Здесь $a=3$, $b=8$, $c=5$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 2}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

$y_2 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Ответ: $-\frac{5}{3}$; -1.

г) $-0,8z^2 + 0,4z + 2,4 = 0$

Сначала умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей.

$10 \cdot (-0,8z^2 + 0,4z + 2,4) = 10 \cdot 0$

$-8z^2 + 4z + 24 = 0$

Теперь разделим обе части на -4, чтобы упростить коэффициенты и сделать старший коэффициент положительным.

$\frac{-8z^2}{-4} + \frac{4z}{-4} + \frac{24}{-4} = \frac{0}{-4}$

$2z^2 - z - 6 = 0$

Решим полученное уравнение. Здесь $a=2$, $b=-1$, $c=-6$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$z_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$

$z_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Ответ: -1,5; 2.