Номер 3.19, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.19, страница 123.

Условие.

3.19 a) $x^2 - 2x - 1 = 0;$

б) $4x^2 - 8x - 1 = 0;$

в) $x^2 - 2x - 4 = 0;$

г) $2x^2 + 2x - 1 = 0;$

д) $x^2 - 6x + 6 = 0;$

е) $x^2 - 12x + 18 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 1 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-2$, $c=-1$.
Поскольку коэффициент $b$ четный, удобно использовать формулу для корней через половину второго коэффициента: $x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.
Найдем $k$: $k = \frac{-2}{2} = -1$.
Теперь вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2$.
Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Подставим значения в формулу для корней:
$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{2}}{1} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{2}$, $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.
Ответ: $1 \pm \sqrt{2}$.

б) Решим квадратное уравнение $4x^2 - 8x - 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=4$, $b=-8$, $c=-1$.
Коэффициент $b$ четный, поэтому воспользуемся формулой $x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.
$k = \frac{-8}{2} = -4$.
Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.
Так как $D_1 > 0$, есть два действительных корня.
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{4}$.
Сократим дробь на 2: $x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{2 - \sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$.

в) Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 4 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-4$.
Коэффициент $b$ четный, $k = \frac{-2}{2} = -1$.
Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-4) = 1 + 4 = 5$.
Так как $D_1 > 0$, есть два действительных корня.
$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{1} = 1 \pm \sqrt{5}$.
Корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{5}$, $x_2 = 1 - \sqrt{5}$.
Ответ: $1 \pm \sqrt{5}$.

г) Решим квадратное уравнение $2x^2 + 2x - 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=2$, $c=-1$.
Коэффициент $b$ четный, $k = \frac{2}{2} = 1$.
Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 1^2 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$.
Так как $D_1 > 0$, есть два действительных корня.
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

д) Решим квадратное уравнение $x^2 - 6x + 6 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=6$.
Коэффициент $b$ четный, $k = \frac{-6}{2} = -3$.
Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-3)^2 - 1 \cdot 6 = 9 - 6 = 3$.
Так как $D_1 > 0$, есть два действительных корня.
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{3}}{1} = 3 \pm \sqrt{3}$.
Корни уравнения: $x_1 = 3 + \sqrt{3}$, $x_2 = 3 - \sqrt{3}$.
Ответ: $3 \pm \sqrt{3}$.

е) Решим квадратное уравнение $x^2 - 12x + 18 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-12$, $c=18$.
Коэффициент $b$ четный, $k = \frac{-12}{2} = -6$.
Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-6)^2 - 1 \cdot 18 = 36 - 18 = 18$.
Так как $D_1 > 0$, есть два действительных корня.
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{18}}{1} = 6 \pm \sqrt{9 \cdot 2} = 6 \pm 3\sqrt{2}$.
Корни уравнения: $x_1 = 6 + 3\sqrt{2}$, $x_2 = 6 - 3\sqrt{2}$.
Ответ: $6 \pm 3\sqrt{2}$.