Номер 3.15, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.15, страница 123.

Условие.

3.15 a) $x^2 + 5x - 6 = 0;$

б) $x^2 + 3x + 2 = 0;$

В) $z^2 - 2z - 3 = 0;$

Г) $t^2 + t - 6 = 0;$

Д) $x^2 - 4x - 21 = 0;$

e) $x^2 + 9x + 18 = 0;$

ж) $a^2 - 7a + 6 = 0;$

З) $b^2 - 4b - 60 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 + 5x - 6 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, его можно решить с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Решим через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=5, c=-6$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Ответ: -6; 1.

б)

Дано квадратное уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=1, b=3, c=2$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: -2; -1.

в)

Дано квадратное уравнение $z^2 - 2z - 3 = 0$.

Коэффициенты: $a=1, b=-2, c=-3$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$z_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Ответ: -1; 3.

г)

Дано квадратное уравнение $t^2 + t - 6 = 0$.

Коэффициенты: $a=1, b=1, c=-6$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: -3; 2.

д)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 4x - 21 = 0$.

Коэффициенты: $a=1, b=-4, c=-21$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: -3; 7.

е)

Дано квадратное уравнение $x^2 + 9x + 18 = 0$.

Коэффициенты: $a=1, b=9, c=18$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 3}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 3}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Ответ: -6; -3.

ж)

Дано квадратное уравнение $a^2 - 7a + 6 = 0$.

Решим это уравнение относительно переменной $a$. Коэффициенты: $A=1, B=-7, C=6$.

Найдем дискриминант: $D = B^2 - 4AC = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$.

Найдем корни по формуле $a_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$a_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$a_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1; 6.

з)

Дано квадратное уравнение $b^2 - 4b - 60 = 0$.

Решим это уравнение относительно переменной $b$. Коэффициенты: $A=1, B=-4, C=-60$.

Найдем дискриминант: $D = B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$.

Найдем корни по формуле $b_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$b_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

$b_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Ответ: -6; 10.