Номер 3.11, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.11, страница 118.

Условие.

3.11 Выделите в трёхчлене квадрат двучлена:

a) $x^2 - 2x + c;$

б) $x^2 + bx + c.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы выделить квадрат двучлена в выражении $x^2 - 2x + c$, мы используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем трехчлене $x^2$ является квадратом первого члена, то есть $a=x$. Слагаемое $-2x$ является удвоенным произведением первого члена на второй.

То есть, $-2ab = -2x$. Подставив $a=x$, получаем $-2 \cdot x \cdot b = -2x$, откуда находим второй член двучлена $b=1$.

Для полного квадрата $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ нам не хватает слагаемого $b^2 = 1^2 = 1$. Чтобы не изменить исходное выражение, мы добавим и вычтем 1:

$x^2 - 2x + c = (x^2 - 2x + 1) - 1 + c$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:

$(x^2 - 2x + 1) + c - 1 = (x-1)^2 + c - 1$

Ответ: $(x-1)^2 + c - 1$.

б)

Для выделения квадрата двучлена в выражении $x^2 + bx + c$ мы используем формулу квадрата суммы: $(a+k)^2 = a^2 + 2ak + k^2$.

В данном выражении $x^2$ является квадратом первого члена, то есть $a=x$. Слагаемое $bx$ должно быть удвоенным произведением первого члена ($x$) на второй (обозначим его $k$).

То есть, $2ak = bx$. Подставив $a=x$, получаем $2xk = bx$. Отсюда находим второй член искомого двучлена: $k = \frac{bx}{2x} = \frac{b}{2}$.

Чтобы получить полный квадрат, нам необходимо добавить квадрат второго члена $k^2 = (\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$. Чтобы не изменить выражение, мы также вычтем это значение:

$x^2 + bx + c = (x^2 + bx + \frac{b^2}{4}) - \frac{b^2}{4} + c$

Сгруппировав первые три слагаемых, получаем квадрат двучлена:

$(x^2 + bx + \frac{b^2}{4}) + c - \frac{b^2}{4} = (x + \frac{b}{2})^2 + c - \frac{b^2}{4}$

Ответ: $(x + \frac{b}{2})^2 + c - \frac{b^2}{4}$.