Номер 3.6, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.6, страница 117.

Условие.

3.6 Заполните пропуски в цепочке равенств:

а) $x^2 + 4x - 1 = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + \dots - \dots - 1 = (x + \dots)^2 - \dots;$

б) $a^2 - 6a + 15 = a^2 - 2 \cdot 3 \cdot a + \dots - \dots + 15 = (a - \dots)^2 + \dots;$

в) $b^2 - 3b + 3 = b^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot b + \dots - \dots + 3 = (\dots - \dots)^2 + \dots;$

г) $p^2 - 7p - 10 = p^2 - 2 \cdot \frac{7}{2} \cdot p + \dots - \dots - 10 = (\dots - \dots)^2 - \dots.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы заполнить пропуски, необходимо выделить полный квадрат из выражения $x^2 + 4x - 1$. Мы используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем выражении $a^2$ соответствует $x^2$, поэтому $a=x$. Слагаемое $4x$ соответствует удвоенному произведению $2ab$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 4x$, откуда мы находим, что $b=2$. Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 2^2 = 4$. Чтобы не изменить исходное выражение, мы добавим и вычтем 4: $x^2 + 4x - 1 = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 1$. Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x+2)^2$. Оставшаяся часть равна $-4 - 1 = -5$. Таким образом, итоговое выражение: $(x+2)^2 - 5$.
Ответ: $x^2 + 4x - 1 = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + \textbf{4} - \textbf{4} - 1 = (x + \textbf{2})^2 - \textbf{5}.$

б) Выделим полный квадрат из выражения $a^2 - 6a + 15$. Мы используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x^2$ соответствует $a^2$, поэтому $x=a$. Слагаемое $-6a$ соответствует $-2xy$, то есть $-2 \cdot a \cdot y = -6a$, откуда $y=3$. Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $y^2 = 3^2 = 9$. Добавим и вычтем 9: $a^2 - 6a + 15 = (a^2 - 6a + 9) - 9 + 15$. Выражение в скобках является полным квадратом $(a-3)^2$. Оставшаяся часть равна $-9 + 15 = 6$. Итоговое выражение: $(a-3)^2 + 6$.
Ответ: $a^2 - 6a + 15 = a^2 - 2 \cdot 3 \cdot a + \textbf{9} - \textbf{9} + 15 = (a - \textbf{3})^2 + \textbf{6}.$

в) Выделим полный квадрат из выражения $b^2 - 3b + 3$. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x^2$ соответствует $b^2$, поэтому $x=b$. Слагаемое $-3b$ соответствует $-2xy$, то есть $-2 \cdot b \cdot y = -3b$, откуда $y = \frac{3}{2}$. Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $y^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. Добавим и вычтем $\frac{9}{4}$: $b^2 - 3b + 3 = (b^2 - 3b + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 3$. Выражение в скобках является полным квадратом $(b - \frac{3}{2})^2$. Оставшаяся часть равна $-\frac{9}{4} + 3 = -\frac{9}{4} + \frac{12}{4} = \frac{3}{4}$. Итоговое выражение: $(b - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
Ответ: $b^2 - 3b + 3 = b^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot b + \frac{\textbf{9}}{\textbf{4}} - \frac{\textbf{9}}{\textbf{4}} + 3 = (\textbf{b} - \frac{\textbf{3}}{\textbf{2}})^2 + \frac{\textbf{3}}{\textbf{4}}.$

г) Выделим полный квадрат из выражения $p^2 - 7p - 10$. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x^2$ соответствует $p^2$, поэтому $x=p$. Слагаемое $-7p$ соответствует $-2xy$, то есть $-2 \cdot p \cdot y = -7p$, откуда $y = \frac{7}{2}$. Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $y^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$. Добавим и вычтем $\frac{49}{4}$: $p^2 - 7p - 10 = (p^2 - 7p + \frac{49}{4}) - \frac{49}{4} - 10$. Выражение в скобках является полным квадратом $(p - \frac{7}{2})^2$. Оставшаяся часть равна $-\frac{49}{4} - 10 = -\frac{49}{4} - \frac{40}{4} = -\frac{89}{4}$. Итоговое выражение: $(p - \frac{7}{2})^2 - \frac{89}{4}$.
Ответ: $p^2 - 7p - 10 = p^2 - 2 \cdot \frac{7}{2} \cdot p + \frac{\textbf{49}}{\textbf{4}} - \frac{\textbf{49}}{\textbf{4}} - 10 = (\textbf{p} - \frac{\textbf{7}}{\textbf{2}})^2 - \frac{\textbf{89}}{\textbf{4}}.$