Номер 3.7, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.7, страница 118.

Условие.

3.7 Решите уравнение, выделив квадрат двучлена:

а) $x^2 + 12x + 20 = 0$;

в) $z^2 - 6z + 9 = 0$;

б) $y^2 + 14y + 24 = 0$;

г) $y^2 - 2y + 3 = 0$.

Подсказка. В качестве образцов используйте примеры 1 и 2.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^2 + 12x + 20 = 0$
Чтобы решить уравнение методом выделения квадрата двучлена, необходимо преобразовать левую часть уравнения к виду $(x+a)^2+b=0$.
Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В выражении $x^2 + 12x + 20$ первые два слагаемых $x^2$ и $12x$ соответствуют $a^2$ и $2ab$.
Если $a^2=x^2$, то $a=x$. Тогда $2ab = 2 \cdot x \cdot b = 12x$, откуда находим $b=6$.
Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 6^2 = 36$.
Добавим и вычтем 36 в левой части уравнения, чтобы не изменить его значение:
$x^2 + 12x + 36 - 36 + 20 = 0$
Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат, и вычислим сумму оставшихся чисел:
$(x^2 + 12x + 36) - 16 = 0$
Запишем квадрат двучлена:
$(x + 6)^2 - 16 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$(x + 6)^2 = 16$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x + 6 = 4$ или $x + 6 = -4$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = 4 - 6 = -2$
$x_2 = -4 - 6 = -10$
Ответ: $x_1 = -10, x_2 = -2$.

б) $y^2 + 14y + 24 = 0$
Выделим квадрат двучлена, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a^2=y^2$, значит $a=y$. Слагаемое $2ab = 14y$, т.е. $2 \cdot y \cdot b = 14y$, откуда $b=7$.
Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 7^2 = 49$.
Добавим и вычтем 49 в левой части уравнения:
$y^2 + 14y + 49 - 49 + 24 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(y^2 + 14y + 49) - 25 = 0$
Запишем квадрат двучлена:
$(y + 7)^2 - 25 = 0$
Перенесем свободный член вправо:
$(y + 7)^2 = 25$
Извлечем квадратный корень:
$y + 7 = 5$ или $y + 7 = -5$
Найдем корни:
$y_1 = 5 - 7 = -2$
$y_2 = -5 - 7 = -12$
Ответ: $y_1 = -12, y_2 = -2$.

в) $z^2 - 6z + 9 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой выражение вида $a^2 - 2ab + b^2$, которое является формулой квадрата разности $(a-b)^2$.
В нашем случае $a^2=z^2$, $b^2=9$, откуда $a=z$ и $b=3$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot z \cdot 3 = 6z$. Это соответствует нашему уравнению.
Следовательно, левую часть можно сразу свернуть в квадрат разности:
$(z - 3)^2 = 0$
Если квадрат выражения равен нулю, то и само выражение равно нулю:
$z - 3 = 0$
$z = 3$
Ответ: $z = 3$.

г) $y^2 - 2y + 3 = 0$
Выделим квадрат двучлена, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = y^2$, значит $a=y$. Слагаемое $2ab = 2y$, т.е. $2 \cdot y \cdot b = 2y$, откуда $b=1$.
Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 1^2 = 1$.
Представим свободный член $3$ как $1+2$:
$y^2 - 2y + 1 + 2 = 0$
Сгруппируем слагаемые, образующие квадрат разности:
$(y^2 - 2y + 1) + 2 = 0$
Запишем квадрат двучлена:
$(y - 1)^2 + 2 = 0$
Перенесем свободный член вправо:
$(y - 1)^2 = -2$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(y - 1)^2 \ge 0$. Уравнение $(y - 1)^2 = -2$ не имеет решений в множестве действительных чисел, так как в левой части стоит неотрицательное число, а в правой — отрицательное.
Ответ: нет действительных корней.