Номер 3.21, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.21, страница 123.

Условие.

3.21 Подберите какое-нибудь значение c, при котором уравнение имеет корни, и значение c, при котором оно не имеет корней:

a) $x^2 - 3x + c = 0;$

б) $5x^2 - 2x + c = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы определить, при каких значениях $c$ квадратное уравнение имеет корни, а при каких — нет, нужно проанализировать его дискриминант. Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ неотрицателен ($D \ge 0$), и не имеет действительных корней, если дискриминант отрицателен ($D < 0$).

а) Рассматриваем уравнение $x^2 - 3x + c = 0$.

Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = -3$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 9 - 4c$.

Чтобы уравнение имело корни, должно выполняться условие $D \ge 0$:
$9 - 4c \ge 0$
$9 \ge 4c$
$c \le \frac{9}{4}$
$c \le 2.25$
Подберем любое значение $c$, удовлетворяющее этому условию, например, $c = 2$.

Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться условие $D < 0$:
$9 - 4c < 0$
$9 < 4c$
$c > 2.25$
Подберем любое значение $c$, удовлетворяющее этому условию, например, $c = 3$.

Ответ: уравнение имеет корни, например, при $c = 2$; не имеет корней, например, при $c = 3$.

б) Рассматриваем уравнение $5x^2 - 2x + c = 0$.

Здесь коэффициенты: $a = 5$, $b = -2$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot c = 4 - 20c$.

Чтобы уравнение имело корни, должно выполняться условие $D \ge 0$:
$4 - 20c \ge 0$
$4 \ge 20c$
$c \le \frac{4}{20}$
$c \le 0.2$
Подберем любое значение $c$, удовлетворяющее этому условию, например, $c = 0$.

Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться условие $D < 0$:
$4 - 20c < 0$
$4 < 20c$
$c > 0.2$
Подберем любое значение $c$, удовлетворяющее этому условию, например, $c = 1$.

Ответ: уравнение имеет корни, например, при $c = 0$; не имеет корней, например, при $c = 1$.