Номер 3.27, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.27, страница 126.

Условие.

3.27 ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ Решите уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения с чётным коэффициентом при x:

а) $x^2 + 6x - 27 = 0$;

б) $3x^2 + 10x - 8 = 0$;

в) $5x^2 = 6x + 8$;

г) $3x^2 + 13x = 2x^2 - x - 49$;

д) $2x^2 + 3x = 42 - 5x$;

е) $6x + 24 = 9x^2$;

ж) $16x^2 = 16x + 5$;

з) $-5x^2 + 20 = 14x - 4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения квадратных уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$ с чётным коэффициентом $b$ удобно использовать специальную формулу. Если $b=2k$, то дискриминант можно вычислить как $D_1 = k^2 - ac$, а корни найти по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.

а) $x^2 + 6x - 27 = 0$

Это уравнение уже в стандартном виде. Коэффициенты: $a=1$, $b=6$, $c=-27$.

Так как коэффициент $b=6$ чётный, используем $k = \frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Вычисляем дискриминант $D_1$: $D_1 = k^2 - ac = 3^2 - 1 \cdot (-27) = 9 + 27 = 36$.

Находим корни: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-3 \pm \sqrt{36}}{1} = -3 \pm 6$.

$x_1 = -3 - 6 = -9$,

$x_2 = -3 + 6 = 3$.

Ответ: -9; 3.

б) $3x^2 + 10x - 8 = 0$

Уравнение в стандартном виде. Коэффициенты: $a=3$, $b=10$, $c=-8$.

Коэффициент $b=10$ чётный, поэтому $k = \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = 5^2 - 3 \cdot (-8) = 25 + 24 = 49$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{3} = \frac{-5 \pm 7}{3}$.

$x_1 = \frac{-5 - 7}{3} = \frac{-12}{3} = -4$,

$x_2 = \frac{-5 + 7}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: -4; $\frac{2}{3}$.

в) $5x^2 = 6x + 8$

Приведём уравнение к стандартному виду: $5x^2 - 6x - 8 = 0$.

Коэффициенты: $a=5$, $b=-6$, $c=-8$.

Коэффициент $b=-6$ чётный, $k = \frac{b}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-3)^2 - 5 \cdot (-8) = 9 + 40 = 49$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{5} = \frac{3 \pm 7}{5}$.

$x_1 = \frac{3 - 7}{5} = \frac{-4}{5}$,

$x_2 = \frac{3 + 7}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

Ответ: $-\frac{4}{5}$; 2.

г) $3x^2 + 13x = 2x^2 - x - 49$

Приведём уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

$3x^2 - 2x^2 + 13x + x + 49 = 0$

$x^2 + 14x + 49 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=14$, $c=49$.

Коэффициент $b=14$ чётный, $k = \frac{b}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = 7^2 - 1 \cdot 49 = 49 - 49 = 0$.

Так как $D_1=0$, уравнение имеет один корень: $x = \frac{-k}{a} = \frac{-7}{1} = -7$.

Ответ: -7.

д) $2x^2 + 3x = 42 - 5x$

Приведём уравнение к стандартному виду:

$2x^2 + 3x + 5x - 42 = 0$

$2x^2 + 8x - 42 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2: $x^2 + 4x - 21 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=-21$.

Коэффициент $b=4$ чётный, $k = \frac{b}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = 2^2 - 1 \cdot (-21) = 4 + 21 = 25$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-2 \pm \sqrt{25}}{1} = -2 \pm 5$.

$x_1 = -2 - 5 = -7$,

$x_2 = -2 + 5 = 3$.

Ответ: -7; 3.

е) $6x + 24 = 9x^2$

Приведём уравнение к стандартному виду: $9x^2 - 6x - 24 = 0$.

Разделим обе части на 3: $3x^2 - 2x - 8 = 0$.

Коэффициенты: $a=3$, $b=-2$, $c=-8$.

Коэффициент $b=-2$ чётный, $k = \frac{b}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-1)^2 - 3 \cdot (-8) = 1 + 24 = 25$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{3} = \frac{1 \pm 5}{3}$.

$x_1 = \frac{1 - 5}{3} = -\frac{4}{3}$,

$x_2 = \frac{1 + 5}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$; 2.

ж) $16x^2 = 16x + 5$

Приведём уравнение к стандартному виду: $16x^2 - 16x - 5 = 0$.

Коэффициенты: $a=16$, $b=-16$, $c=-5$.

Коэффициент $b=-16$ чётный, $k = \frac{b}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-8)^2 - 16 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{144}}{16} = \frac{8 \pm 12}{16}$.

$x_1 = \frac{8 - 12}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$,

$x_2 = \frac{8 + 12}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$; $\frac{5}{4}$.

з) $-5x^2 + 20 = 14x - 4$

Приведём уравнение к стандартному виду:

$-5x^2 - 14x + 20 + 4 = 0$

$-5x^2 - 14x + 24 = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным: $5x^2 + 14x - 24 = 0$.

Коэффициенты: $a=5$, $b=14$, $c=-24$.

Коэффициент $b=14$ чётный, $k = \frac{b}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = 7^2 - 5 \cdot (-24) = 49 + 120 = 169$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-7 \pm \sqrt{169}}{5} = \frac{-7 \pm 13}{5}$.

$x_1 = \frac{-7 - 13}{5} = \frac{-20}{5} = -4$,

$x_2 = \frac{-7 + 13}{5} = \frac{6}{5}$.

Ответ: -4; $\frac{6}{5}$.