Номер 3.34, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.34, страница 126.

Условие.

3.34 а) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = 0;$

б) $x^2 + 2\sqrt{7}x + 7 = 0;$

в) $x^2 + 2\sqrt{6}x - 18 = 0;$

г) $x^2 - 2\sqrt{2}x - 6 = 0.$

Указание. Воспользуйтесь формулой корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данных квадратных уравнений вида $ax^2+bx+c=0$, у которых второй коэффициент $b$ является чётным числом ($b=2k$), используется специальная формула. В этом случае дискриминант вычисляется как $D_1 = k^2 - ac$, а корни находятся по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.

а) В уравнении $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = 0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=-2\sqrt{5}$, $c=5$. Второй коэффициент $b$ является чётным. Найдём $k = \frac{b}{2} = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-\sqrt{5})^2 - 1 \cdot 5 = 5 - 5 = 0$. Так как $D_1=0$, уравнение имеет один корень, который находится по формуле $x = \frac{-k}{a}$. $x = \frac{-(-\sqrt{5})}{1} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$.

б) В уравнении $x^2 + 2\sqrt{7}x + 7 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=2\sqrt{7}$, $c=7$. Второй коэффициент $b$ — чётный. Найдём $k = \frac{b}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (\sqrt{7})^2 - 1 \cdot 7 = 7 - 7 = 0$. Поскольку $D_1=0$, уравнение имеет один корень: $x = \frac{-k}{a} = \frac{-\sqrt{7}}{1} = -\sqrt{7}$.
Ответ: $-\sqrt{7}$.

в) В уравнении $x^2 + 2\sqrt{6}x - 18 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=2\sqrt{6}$, $c=-18$. Второй коэффициент $b$ — чётный. Найдём $k = \frac{b}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (\sqrt{6})^2 - 1 \cdot (-18) = 6 + 18 = 24$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{24}}{1} = -\sqrt{6} \pm 2\sqrt{6}$.
Находим корни:
$x_1 = -\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$;
$x_2 = -\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = -3\sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{6}; -3\sqrt{6}$.

г) В уравнении $x^2 - 2\sqrt{2}x - 6 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=-2\sqrt{2}$, $c=-6$. Второй коэффициент $b$ — чётный. Найдём $k = \frac{b}{2} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-\sqrt{2})^2 - 1 \cdot (-6) = 2 + 6 = 8$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-\sqrt{2}) \pm \sqrt{8}}{1} = \sqrt{2} \pm 2\sqrt{2}$.
Находим корни:
$x_1 = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$;
$x_2 = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}; -\sqrt{2}$.