Номер 3.35, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.35, страница 127.

Условие.

3.35 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Уравнение вида

$ax^4 + bx^2 + c = 0,$

где $a \neq 0$, называется биквадратным уравнением.

Решим уравнение $x^4 + 3x^2 - 28 = 0$.

Решение. Введём замену $x^2 = y$, получим квадратное уравнение относительно $y: y^2 + 3y - 28 = 0$. Решив его, найдём корни: $y_1 = 4, y_2 = -7$. Теперь решим уравнения $x^2 = 4$ и $x^2 = -7$:

1) $x^2 = 4; x_1 = 2, x_2 = -2;$

2) $x^2 = -7$; уравнение корней не имеет.

Ответ. 2; -2.

Решите биквадратное уравнение:

а) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0;$

б) $y^4 - 5y^2 + 4 = 0;$

в) $x^4 + 15x^2 - 16 = 0;$

г) $z^4 + 5z^2 + 4 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t$ должно быть неотрицательным ($t \ge 0$).

Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 13t + 36 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$.
$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Оба корня ($t_1 = 9$ и $t_2 = 4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

1. $x^2 = t_1 \Rightarrow x^2 = 9$. Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
2. $x^2 = t_2 \Rightarrow x^2 = 4$. Отсюда $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; -2; 2; 3$.

б) Дано биквадратное уравнение $y^4 - 5y^2 + 4 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = y^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Найдем корни. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Легко подобрать корни $t_1=4$ и $t_2=1$. Или через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$\sqrt{D} = 3$.

$t_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1$.

Оба корня ($t_1 = 4$ и $t_2 = 1$) положительные.

Выполним обратную замену:

1. $y^2 = t_1 \Rightarrow y^2 = 4$. Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.
2. $y^2 = t_2 \Rightarrow y^2 = 1$. Отсюда $y_3 = 1$ и $y_4 = -1$.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-2; -1; 1; 2$.

в) Дано биквадратное уравнение $x^4 + 15x^2 - 16 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $t^2 + 15t - 16 = 0$.

Найдем корни. По теореме Виета: произведение корней равно -16, а сумма равна -15. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -16$. Или через дискриминант:

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$.
$\sqrt{D} = 17$.

$t_1 = \frac{-15 + 17}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{-15 - 17}{2} = \frac{-32}{2} = -16$.

Проверим условие $t \ge 0$:

• $t_1 = 1$ — удовлетворяет условию.
• $t_2 = -16$ — не удовлетворяет условию, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Выполним обратную замену только для подходящего корня:

$x^2 = t_1 \Rightarrow x^2 = 1$. Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Уравнение $x^2 = -16$ действительных корней не имеет.

Ответ: $-1; 1$.

г) Дано биквадратное уравнение $z^4 + 5z^2 + 4 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = z^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $t^2 + 5t + 4 = 0$.

Найдем корни. По теореме Виета: произведение корней равно 4, а сумма равна -5. Корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -4$. Или через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$\sqrt{D} = 3$.

$t_1 = \frac{-5 + 3}{2} = -1$.
$t_2 = \frac{-5 - 3}{2} = -4$.

Оба корня ($t_1 = -1$ и $t_2 = -4$) отрицательные, поэтому они не удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Следовательно, уравнения $z^2 = -1$ и $z^2 = -4$ не имеют действительных корней.

Ответ: корней нет.