Номер 3.39, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.39, страница 127.

Условие.

3.39 Найдите корни уравнения и покажите их примерное расположение на координатной прямой:

а) $(x^2 - 2x + 1)^2 - 11(x^2 - 2x + 1) + 30 = 0$;

б) $(x^2 + 4x)^2 - 4(x^2 + 4x) - 5 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное уравнение: $(x^2 - 2x + 1)^2 - 11(x^2 - 2x + 1) + 30 = 0$.

Заметим, что выражение в скобках представляет собой полный квадрат: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Подставим это в уравнение:

$((x - 1)^2)^2 - 11(x - 1)^2 + 30 = 0$

$(x - 1)^4 - 11(x - 1)^2 + 30 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $(x - 1)$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = (x - 1)^2$. Поскольку $y$ является квадратом действительного числа, должно выполняться условие $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 - 11y + 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 30. Следовательно, корни:

$y_1 = 5$, $y_2 = 6$.

Оба значения удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $y$:

1) Если $y = 5$, то $(x - 1)^2 = 5$. Отсюда $x - 1 = \pm\sqrt{5}$, что дает два корня: $x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{5}$.

2) Если $y = 6$, то $(x - 1)^2 = 6$. Отсюда $x - 1 = \pm\sqrt{6}$, что дает еще два корня: $x_{3,4} = 1 \pm \sqrt{6}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня. Для их расположения на координатной прямой оценим их приближенные значения: $\sqrt{5} \approx 2.24$, $\sqrt{6} \approx 2.45$.

$x_A = 1 - \sqrt{6} \approx 1 - 2.45 = -1.45$

$x_B = 1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.24 = -1.24$

$x_C = 1 + \sqrt{5} \approx 1 + 2.24 = 3.24$

$x_D = 1 + \sqrt{6} \approx 1 + 2.45 = 3.45$

Ответ: $1 \pm \sqrt{5}; 1 \pm \sqrt{6}$.

б) Исходное уравнение: $(x^2 + 4x)^2 - 4(x^2 + 4x) - 5 = 0$.

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $x^2 + 4x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 4x$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Корнями являются:

$t_1 = 5$, $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$:

1) Если $t = 5$, то $x^2 + 4x = 5$, или $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

2) Если $t = -1$, то $x^2 + 4x = -1$, или $x^2 + 4x + 1 = 0$. Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Получаем еще два корня: $x_3 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_4 = -2 - \sqrt{3}$.

Для расположения корней на координатной прямой оценим их приближенные значения: $\sqrt{3} \approx 1.73$.

$x_3 = -2 + \sqrt{3} \approx -2 + 1.73 = -0.27$

$x_4 = -2 - \sqrt{3} \approx -2 - 1.73 = -3.73$

Расположим все корни на прямой в порядке возрастания: $-5$, $-2 - \sqrt{3}$, $-2 + \sqrt{3}$, $1$.

Ответ: $-5, 1, -2 \pm \sqrt{3}$.