Номер 3.44, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.44, страница 131.

Условие.

3.44 а) Сумма квадратов двух последовательных отрицательных целых чисел равна 85. Найдите эти числа.

б) Сумма квадратов двух последовательных натуральных нечётных чисел равна 130. Найдите эти числа.

в) Сумма квадратов двух последовательных целых чисел равна 41. Найдите эти числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть первое отрицательное целое число равно $n$. Тогда следующее за ним последовательное целое число будет $n+1$. По условию задачи, оба числа должны быть отрицательными, значит $n < 0$ и $n+1 < 0$. Из этого следует, что $n$ должно быть целым числом, меньшим чем -1.

Сумма их квадратов равна 85. Составим и решим уравнение:

$n^2 + (n+1)^2 = 85$

Раскроем скобки:

$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 85$

Приведём подобные слагаемые и перенесём всё в левую часть:

$2n^2 + 2n + 1 - 85 = 0$

$2n^2 + 2n - 84 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$n^2 + n - 42 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -42, а их сумма равна -1. Подбираем корни: $n_1 = -7$ и $n_2 = 6$.

Согласно условию, искомые числа являются отрицательными. Корень $n_2 = 6$ не удовлетворяет этому условию. Корень $n_1 = -7$ подходит.

Если первое число равно -7, то второе число $n+1 = -7+1 = -6$.

Проверка: $(-7)^2 + (-6)^2 = 49 + 36 = 85$.

Ответ: -7 и -6.

б)

Пусть первое натуральное нечётное число равно $n$. Поскольку числа последовательные нечётные, следующее за ним будет $n+2$. По условию, числа должны быть натуральными, то есть положительными целыми.

Сумма их квадратов равна 130. Составим и решим уравнение:

$n^2 + (n+2)^2 = 130$

Раскроем скобки:

$n^2 + n^2 + 4n + 4 = 130$

$2n^2 + 4n + 4 - 130 = 0$

$2n^2 + 4n - 126 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$n^2 + 2n - 63 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -63, а их сумма равна -2. Корни: $n_1 = 7$ и $n_2 = -9$.

По условию, числа должны быть натуральными (положительными). Корень $n_2 = -9$ не подходит. Корень $n_1 = 7$ является натуральным и нечётным.

Если первое число равно 7, то второе $n+2 = 7+2 = 9$.

Проверка: $7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130$.

Ответ: 7 и 9.

в)

Пусть первое целое число равно $x$. Тогда следующее последовательное целое число равно $x+1$.

Сумма их квадратов равна 41. Составим и решим уравнение:

$x^2 + (x+1)^2 = 41$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 41$

$2x^2 + 2x + 1 - 41 = 0$

$2x^2 + 2x - 40 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 + x - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -20, а их сумма равна -1. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -5$.

Оба корня являются целыми числами, поэтому в данном случае существует две пары чисел, удовлетворяющих условию.

1. Если $x = 4$, то пара чисел: 4 и $4+1=5$. Проверка: $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

2. Если $x = -5$, то пара чисел: -5 и $-5+1=-4$. Проверка: $(-5)^2 + (-4)^2 = 25 + 16 = 41$.

Ответ: 4 и 5, или -5 и -4.