Номер 3.49, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.49, страница 131.

Условие.

3.49 Две дороги пересекаются под прямым углом. От перекрёстка одновременно отъехали два велосипедиста, один в южном направлении, а другой в восточном. Скорость второго была на 4 км/ч больше скорости первого. Через час расстояние между ними оказалось равным 20 км. Определите скорость каждого велосипедиста.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $v_1$ (в км/ч) — скорость первого велосипедиста, который едет в южном направлении. Согласно условию задачи, скорость второго велосипедиста, который движется в восточном направлении, на 4 км/ч больше. Следовательно, его скорость составляет $v_2 = (v_1 + 4)$ км/ч.

Велосипедисты выехали одновременно из точки пересечения дорог, и через время $t=1$ час расстояние между ними стало равным 20 км. За это время первый велосипедист проехал расстояние $S_1$, а второй — $S_2$:

$S_1 = v_1 \cdot t = v_1 \cdot 1 = v_1$ км.

$S_2 = v_2 \cdot t = (v_1 + 4) \cdot 1 = v_1 + 4$ км.

Поскольку дороги пересекаются под прямым углом, а велосипедисты движутся на юг и на восток, их траектории движения образуют катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между ними в любой момент времени является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$S_1^2 + S_2^2 = d^2$, где $d$ — расстояние между велосипедистами, равное 20 км.

Подставим известные значения и выражения в уравнение:

$v_1^2 + (v_1 + 4)^2 = 20^2$

Для нахождения $v_1$ необходимо решить это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$v_1^2 + (v_1^2 + 2 \cdot v_1 \cdot 4 + 4^2) = 400$

$v_1^2 + v_1^2 + 8v_1 + 16 = 400$

$2v_1^2 + 8v_1 + 16 - 400 = 0$

$2v_1^2 + 8v_1 - 384 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 2:

$v_1^2 + 4v_1 - 192 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни, используя формулу через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$.

Теперь найдем возможные значения для $v_1$:

$v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 28}{2 \cdot 1}$

Первый корень: $v_{1,1} = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Второй корень: $v_{1,2} = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$.

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только первый корень. Таким образом, скорость первого велосипедиста $v_1 = 12$ км/ч.

Теперь можно определить скорость второго велосипедиста:

$v_2 = v_1 + 4 = 12 + 4 = 16$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 12 км/ч, скорость второго велосипедиста — 16 км/ч.