Номер 3.52, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.52, страница 132.

Условие.

3.52 Если тело падает вниз и начальная скорость падения равна $v$ м/с, то расстояние, которое оно пролетит за $t$ с, вычисляется приближённо по формуле $h = vt + 5t^2$. Используя эту формулу, решите задачу (ответ округлите до десятых):

а) Камень брошен с 80-метровой башни со скоростью 7 м/с. Через сколько секунд он упадёт на землю?

б) С самолёта, летящего на высоте 700 м, на льдину сброшен груз с начальной скоростью 30 м/с. Через сколько секунд груз достигнет льдины?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для решения задачи воспользуемся данной формулой расстояния $h = vt + 5t^2$, где $h$ — расстояние (в данном случае, высота башни), $v$ — начальная скорость, а $t$ — время в секундах.
Из условия задачи нам известны следующие величины:
Высота башни $h = 80$ м.
Начальная скорость камня $v = 7$ м/с.
Подставим эти значения в формулу, чтобы найти время $t$:
$80 = 7t + 5t^2$
Мы получили квадратное уравнение. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду $at^2 + bt + c = 0$:
$5t^2 + 7t - 80 = 0$
Решим это уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ (дискриминант).
В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = 7$, $c = -80$.
Вычислим дискриминант:
$D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-80) = 49 + 1600 = 1649$.
Теперь найдем значения $t$:
$t = \frac{-7 \pm \sqrt{1649}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 \pm \sqrt{1649}}{10}$
Вычислим приближенное значение корня из дискриминанта: $\sqrt{1649} \approx 40,61$.
Найдем два корня для времени $t$:
$t_1 = \frac{-7 + 40,61}{10} = \frac{33,61}{10} \approx 3,361$
$t_2 = \frac{-7 - 40,61}{10} = \frac{-47,61}{10} \approx -4,761$
Так как время не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только положительный корень: $t \approx 3,361$ с.
Согласно условию, округлим результат до десятых: $t \approx 3,4$ с.
Ответ: 3,4 с.

б)

Действуем аналогично пункту а), используя ту же формулу $h = vt + 5t^2$.
Из условия задачи нам известны:
Высота полета $h = 700$ м.
Начальная скорость груза $v = 30$ м/с.
Подставим эти значения в формулу:
$700 = 30t + 5t^2$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$5t^2 + 30t - 700 = 0$
Для упрощения вычислений можно разделить все члены уравнения на 5:
$t^2 + 6t - 140 = 0$
Теперь решим это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1$, $b = 6$, $c = -140$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 36 + 560 = 596$.
Найдем значения $t$:
$t = \frac{-6 \pm \sqrt{596}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{596}}{2}$
Вычислим приближенное значение корня: $\sqrt{596} \approx 24,41$.
Найдем два корня для времени $t$:
$t_1 = \frac{-6 + 24,41}{2} = \frac{18,41}{2} \approx 9,205$
$t_2 = \frac{-6 - 24,41}{2} = \frac{-30,41}{2} \approx -15,205$
Время не может быть отрицательным, поэтому выбираем положительное значение $t \approx 9,205$ с.
Округлим результат до десятых: $t \approx 9,2$ с.
Ответ: 9,2 с.