Номер 3.51, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.51, страница 132.

Условие.

3.51 Тысячи лет назад пифагорейцы исследовали фигурные числа, и в частности треугольные числа, которые изображаются в виде треугольников (рис. 3.4).

1 3 6 10

Треугольное число с номером n равно $ \frac{n(n+1)}{2} $.

Рис. 3.4

Есть ли среди треугольных чисел число 30; число 120? Если есть, укажите его номер.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, является ли заданное число треугольным, необходимо проверить, существует ли такое натуральное число $n$, для которого формула треугольного числа $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ дает это число.

число 30
Проверим, существует ли натуральное $n$, такое что:
$\frac{n(n+1)}{2} = 30$
Умножим обе части на 2:
$n(n+1) = 60$
Раскроем скобки и перенесем 60 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$n^2 + n - 60 = 0$
Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 1 + 240 = 241$
Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, дискриминант должен быть полным квадратом. Однако $\sqrt{241}$ не является целым числом ($15^2 = 225$, $16^2 = 256$). Следовательно, уравнение не имеет целых корней.
Ответ: число 30 не является треугольным.

число 120
Проверим, существует ли натуральное $n$, такое что:
$\frac{n(n+1)}{2} = 120$
Умножим обе части на 2:
$n(n+1) = 240$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$n^2 + n - 240 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$
Проверим, является ли дискриминант полным квадратом: $\sqrt{961} = 31$. Так как корень из дискриминанта является целым числом, уравнение имеет целые корни. Найдем их:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 31}{2}$
Получаем два корня:
$n_1 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$n_2 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$
По определению, номер треугольного числа $n$ должен быть натуральным (положительным целым) числом. Этому условию удовлетворяет только $n_1 = 15$.
Ответ: да, число 120 является треугольным, его номер 15.