Номер 3.53, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.53, страница 132.

Условие.

3.53 Если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v$ м/с, то высота, на которой оно окажется через $t$ с, может быть приближённо найдена по формуле $h = vt - 5t^2$. Используя эту формулу, решите задачу:

а) Футболист на тренировке подбрасывает ногой мяч вертикально вверх. Если он подбросил мяч, сообщив ему начальную скорость 15 м/с, то через сколько секунд мяч окажется в 10 м над землёй?

б) Футболист, подбрасывая мяч ногой, сообщил ему начальную скорость 20 м/с. Взлетит ли мяч выше берёзы, высота которой 15 м? Взлетит ли он выше дома, высота которого 22 м?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Используем заданную формулу высоты $h = vt - 5t^2$. По условию, начальная скорость $v = 15$ м/с, а высота, на которой должен оказаться мяч, $h = 10$ м. Подставляем эти значения в формулу:

$10 = 15t - 5t^2$

Мы получили квадратное уравнение относительно времени $t$. Перенесем все члены в левую часть и приведем уравнение к стандартному виду $at^2 + bt + c = 0$:

$5t^2 - 15t + 10 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 5:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2$

Оба корня положительны и имеют физический смысл. Мяч окажется на высоте 10 м дважды: в момент времени $t = 1$ с (при движении вверх) и в момент времени $t = 2$ с (при движении вниз).

Ответ: мяч окажется на высоте 10 м над землей через 1 секунду и через 2 секунды.

б)

В этом случае начальная скорость мяча $v = 20$ м/с. Формула для высоты полета мяча имеет вид:

$h(t) = 20t - 5t^2$

Чтобы определить, взлетит ли мяч выше определённой отметки, нужно найти максимальную высоту его подъема $h_{max}$. Зависимость высоты от времени $h(t)$ является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение функции достигается в вершине параболы.

Время достижения максимальной высоты найдем по формуле для абсциссы вершины параболы $t_{верш} = -b/(2a)$. В нашем уравнении $h(t) = -5t^2 + 20t$ коэффициенты $a=-5$ и $b=20$.

$t_{max} = \frac{-20}{2 \cdot (-5)} = \frac{-20}{-10} = 2$ с

Теперь найдем максимальную высоту, подставив это значение времени $t=2$ с в формулу высоты:

$h_{max} = 20 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2 = 40 - 5 \cdot 4 = 40 - 20 = 20$ м

Максимальная высота, на которую поднимется мяч, составляет 20 м. Теперь сравним эту высоту с высотой берёзы и дома:

• Высота берёзы — 15 м. Так как $20 \text{ м} > 15 \text{ м}$, мяч взлетит выше берёзы.
• Высота дома — 22 м. Так как $20 \text{ м} < 22 \text{ м}$, мяч не взлетит выше дома.

Ответ: мяч взлетит выше берёзы, но не взлетит выше дома.