Номер 3.58, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.58, страница 133.

Условие.

3.58 Витрина магазина имеет размер $3 \times 4 \text{ м}$. При окраске здания на стекло по периметру витрины наклеили защитную бумажную ленту, чтобы не закрасить стекло. Лента закрыла площадь, равную половине площади витрины. Найдите ширину бумажной ленты.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть ширина бумажной ленты равна $x$ метров. Размеры витрины составляют 3 м на 4 м.

1. Сначала найдем общую площадь витрины $S_{общ}$:
$S_{общ} = 3 \text{ м} \times 4 \text{ м} = 12 \text{ м}^2$.

2. По условию задачи, лента закрыла площадь, равную половине площади витрины. Найдем площадь ленты $S_{ленты}$:
$S_{ленты} = \frac{1}{2} S_{общ} = \frac{1}{2} \times 12 \text{ м}^2 = 6 \text{ м}^2$.

3. Площадь, не закрытая лентой ($S_{незакр}$), — это оставшаяся половина площади витрины:
$S_{незакр} = S_{общ} - S_{ленты} = 12 - 6 = 6 \text{ м}^2$.

4. Эта незакрытая площадь представляет собой прямоугольник в центре витрины. Так как лента шириной $x$ наклеена по всему периметру, размеры этого внутреннего прямоугольника будут меньше исходных размеров витрины на $2x$ с каждой стороны (поскольку лента есть с двух противоположных сторон).
Новая длина: $4 - 2x$ (м).
Новая ширина: $3 - 2x$ (м).

5. Площадь этого внутреннего прямоугольника можно выразить как произведение его сторон. Приравняем это выражение к найденной ранее незакрытой площади:
$(4 - 2x)(3 - 2x) = 6$.

6. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$12 - 8x - 6x + 4x^2 = 6$
$4x^2 - 14x + 12 - 6 = 0$
$4x^2 - 14x + 6 = 0$
Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:
$2x^2 - 7x + 3 = 0$.

7. Найдем корни уравнения, используя формулу для решения квадратных уравнений $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
$x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

8. Проанализируем полученные значения. Ширина ленты $x$ не может быть больше половины меньшей стороны витрины. Меньшая сторона равна 3 м, значит $2x$ должно быть меньше 3 м, то есть $x < 1.5$ м.
Корень $x_1 = 3$ не подходит, так как $3 > 1.5$. Этот корень является посторонним для данной задачи.
Корень $x_2 = 0.5$ удовлетворяет условию $0.5 < 1.5$.

Таким образом, искомая ширина бумажной ленты равна 0,5 м.

Ответ: 0,5 м.