Номер 3.65, страница 134 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.65, страница 134.

Условие.

3.65 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Разберите, как по условию задачи составлено уравнение, и решите её.

Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 200 р., а окончательная — 338 р.?

Способ 1. Пусть цена товара каждый раз повышалась на $x$ процентов, т. е. на $\frac{x}{100}$ величины. Тогда $(200 + 200 \cdot \frac{x}{100})$ р. — цена товара после первого повышения;

$(200 + 2x) + (200 + 2x) \cdot \frac{x}{100}$ р.— цена товара после второго повышения.

Так как окончательная цена 338 р., то имеем равенство

$(200 + 2x) + (200 + 2x) \cdot \frac{x}{100} = 338.$

Способ 2. Пусть цена товара каждый раз увеличивалась в $x$ раз. Тогда $(200 \cdot x) \cdot x$ р. — цена товара после второго повышения. Имеем уравнение $(200 \cdot x) \cdot x = 338.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

В задаче требуется найти, на сколько процентов повышалась цена товара каждый раз. Известно, что первоначальная цена — 200 р., конечная цена — 338 р., а повышение происходило дважды на один и тот же процент.

Способ 1

В этом способе за неизвестное $x$ принимается количество процентов, на которое повышалась цена.

1. Первое повышение.
Первоначальная цена товара — 200 р.
Цена повышается на $x$ процентов. Величина повышения в рублях составляет $x$ процентов от 200, то есть $200 \cdot \frac{x}{100} = 2x$ р.
Цена после первого повышения становится равной сумме первоначальной цены и величины повышения: $200 + 2x$ р.

2. Второе повышение.
Теперь цена повышается на те же $x$ процентов, но уже от новой цены $(200 + 2x)$ р.
Величина второго повышения составляет $x$ процентов от $(200 + 2x)$, то есть $(200 + 2x) \cdot \frac{x}{100}$ р.
Окончательная цена равна цене после первого повышения плюс величина второго повышения: $(200 + 2x) + (200 + 2x) \cdot \frac{x}{100}$ р.

3. Составление и решение уравнения.
Так как окончательная цена по условию равна 338 р., мы можем составить уравнение: $(200 + 2x) + (200 + 2x) \cdot \frac{x}{100} = 338$

Вынесем общий множитель $(200 + 2x)$ за скобки: $(200 + 2x) \left(1 + \frac{x}{100}\right) = 338$

Приведем выражение во второй скобке к общему знаменателю: $(200 + 2x) \left(\frac{100 + x}{100}\right) = 338$

Вынесем 2 за скобки в первом множителе: $2(100 + x) \left(\frac{100 + x}{100}\right) = 338$

Умножим скобки и упростим: $\frac{2(100 + x)^2}{100} = 338$

Сократим дробь в левой части: $\frac{(100 + x)^2}{50} = 338$

Умножим обе части уравнения на 50: $(100 + x)^2 = 338 \cdot 50$ $(100 + x)^2 = 16900$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как $x$ — это процент повышения, то $100+x$ должно быть положительным числом. $100 + x = \sqrt{16900}$ $100 + x = 130$

Найдем $x$: $x = 130 - 100$ $x = 30$

Ответ: Цена каждый раз повышалась на 30%.

Способ 2

В этом способе за неизвестное $x$ принимается множитель, на который увеличивалась цена. Если цена увеличивается на $p$ процентов, то она умножается на коэффициент $1 + \frac{p}{100}$. В данном способе этот коэффициент обозначен как $x$.

1. Первое повышение.
Первоначальная цена — 200 р. После первого повышения цена становится $200 \cdot x$ р.

2. Второе повышение.
Новая цена $200 \cdot x$ снова умножается на тот же коэффициент $x$. Окончательная цена становится $(200 \cdot x) \cdot x = 200x^2$ р.

3. Составление и решение уравнения.
Так как окончательная цена равна 338 р., получаем уравнение: $200x^2 = 338$

Найдем $x^2$: $x^2 = \frac{338}{200}$

Сократим дробь: $x^2 = \frac{169}{100} = 1.69$

Извлечем квадратный корень. Так как цена повышалась, коэффициент $x$ должен быть больше 1. $x = \sqrt{1.69}$ $x = 1.3$

4. Перевод коэффициента в проценты.
Мы нашли коэффициент увеличения цены $x=1.3$. Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась цена, используем формулу $p = (x - 1) \cdot 100\%$: $p = (1.3 - 1) \cdot 100\% = 0.3 \cdot 100\% = 30\%$

Ответ: Цена каждый раз повышалась на 30%.