Номер 3.66, страница 134 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.66, страница 134.

Условие.

3.66 Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 400 р., а окончательная – 256 р.?

Совет. Используйте ход рассуждения, данный в задаче 3.65.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть первоначальная цена товара составляет $P_0 = 400$ рублей, а $x$ — искомое число процентов, на которое цена снижалась каждый раз.

Тогда коэффициент, на который умножается цена после каждого снижения, равен $k = 1 - \frac{x}{100}$.

После первого снижения цена станет равной $P_1 = P_0 \cdot (1 - \frac{x}{100})$.

После второго снижения на тот же процент цена станет равной $P_2 = P_1 \cdot (1 - \frac{x}{100})$.

Подставив выражение для $P_1$ в формулу для $P_2$, получим:
$P_2 = \left(P_0 \cdot (1 - \frac{x}{100})\right) \cdot (1 - \frac{x}{100}) = P_0 \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2$.

По условию задачи, $P_0 = 400$ р., а $P_2 = 256$ р. Подставим эти значения в нашу формулу и решим уравнение:
$256 = 400 \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2$

Разделим обе части уравнения на 400:
$\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{256}{400}$

Сократим дробь в правой части:
$\frac{256}{400} = \frac{64 \cdot 4}{100 \cdot 4} = \frac{64}{100} = \frac{16}{25}$

Уравнение примет вид:
$\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{16}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как цена снижается, процент $x$ должен быть меньше 100, а значит, выражение $1 - \frac{x}{100}$ должно быть положительным. Поэтому мы выбираем положительное значение корня:
$1 - \frac{x}{100} = \sqrt{\frac{16}{25}}$
$1 - \frac{x}{100} = \frac{4}{5}$

Найдем $x$:
$\frac{x}{100} = 1 - \frac{4}{5}$
$\frac{x}{100} = \frac{1}{5}$
$x = \frac{1}{5} \cdot 100$
$x = 20$

Ответ: 20%.