Номер 3.67, страница 134 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.67, страница 134.

Условие.

3.67 Исследуем Вам, вероятно, приходилось слышать о золотом сечении. Так называют число, выражающее определенное отношение длин отрезков. Золотое сечение широко использовалось в древней архитектуре. Сооружения, построенные с использованием золотого сечения, поражают своей соразмерностью, законченностью, красотой.

Золотое сечение может быть описано следующим образом: точка делит отрезок на две части в отношении, равном золотому сечению, если отношение большей части к меньшей равно отношению длины всего отрезка к длине большей его части (рис. 3.5):

Рис. 3.5

$\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$

1) Найдите число, выражающее золотое сечение. Для этого примите длину меньшей части b за 1 и, подставив b = 1 в пропорцию, найдите из этой пропорции a. Положительное значение a и будет равно золотому сечению. (Запишите его точное значение и приближённое значение с тремя знаками после запятой.)

2) Постройте какой-нибудь прямоугольник, отношение сторон которого равно золотому сечению. «Отрежьте» от него квадрат. Убедитесь в том, что отношение сторон полученного прямоугольника также равно золотому сечению (в вычислениях используйте точное значение золотого сечения).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Задача состоит в том, чтобы найти число, выражающее золотое сечение. Золотое сечение описывается пропорцией, где отношение большей части отрезка (a) к меньшей (b) равно отношению всего отрезка (a+b) к большей его части (a):

$\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$

Числом золотого сечения является само это отношение $\phi = \frac{a}{b}$. Чтобы найти его значение, подставим в пропорцию $b=1$, как предложено в условии. В этом случае $a$ будет численно равно золотому сечению.

$\frac{a}{1} = \frac{a+1}{a}$

Получаем уравнение:

$a = \frac{a+1}{a}$

Умножим обе части уравнения на $a$ (поскольку $a$ представляет длину, $a \neq 0$):

$a^2 = a+1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$a^2 - a - 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$, где в нашем случае $A=1$, $B=-1$, $C=-1$.

$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}$

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Уравнение имеет два корня: $a_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $a_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. Поскольку $a$ представляет собой длину отрезка, его значение должно быть положительным. Корень $a_2$ является отрицательным числом (так как $\sqrt{5} \approx 2.236$), поэтому он нам не подходит. Мы выбираем положительный корень.

Точное значение числа, выражающего золотое сечение:

$a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Для нахождения приближенного значения используем $\sqrt{5} \approx 2,236067...$

$a \approx \frac{1 + 2,236}{2} = \frac{3,236}{2} = 1,618$

Ответ: Точное значение числа, выражающего золотое сечение, равно $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Его приближенное значение с тремя знаками после запятой равно 1,618.

2)

Рассмотрим прямоугольник, отношение сторон которого равно золотому сечению, $\phi$. Такой прямоугольник называется «золотым прямоугольником». Пусть его длинная сторона равна L, а короткая – W. Тогда их отношение:

$\frac{L}{W} = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Далее, «отрежем» от этого прямоугольника квадрат со стороной, равной его меньшей стороне, то есть W. После этого останется новый, меньший прямоугольник. Найдем его размеры. Одна сторона нового прямоугольника будет равна W, а другая — разности длинной стороны исходного прямоугольника и стороны отрезанного квадрата, то есть L - W. Поскольку $L = \phi \cdot W \approx 1,618 W$, то $L > W$. Следовательно, $L-W$ будет меньше, чем $W$. Таким образом, у нового прямоугольника длинная сторона равна W, а короткая — L - W.

Теперь необходимо убедиться, что отношение сторон полученного прямоугольника также равно золотому сечению. Найдем это новое отношение:

$\text{Новое отношение} = \frac{\text{новая длинная сторона}}{\text{новая короткая сторона}} = \frac{W}{L - W}$

Чтобы проверить, равно ли это отношение $\phi$, воспользуемся исходным условием $\frac{L}{W} = \phi$, из которого следует, что $L = \phi \cdot W$. Подставим это выражение для L в формулу нового отношения:

$\text{Новое отношение} = \frac{W}{\phi \cdot W - W}$

Вынесем W в знаменателе за скобки:

$\text{Новое отношение} = \frac{W}{W(\phi - 1)}$

Сократим дробь на W (так как длина стороны не может быть нулевой):

$\text{Новое отношение} = \frac{1}{\phi - 1}$

Из решения в пункте 1) мы знаем, что $\phi$ является корнем уравнения $\phi^2 - \phi - 1 = 0$. Из этого уравнения можно выразить $(\phi - 1)$ следующим образом:

$\phi^2 = \phi + 1$

Если разделить обе части на $\phi$, получим $\phi = 1 + \frac{1}{\phi}$, откуда следует, что $\phi - 1 = \frac{1}{\phi}$.

Подставим это выражение в нашу формулу для нового отношения:

$\text{Новое отношение} = \frac{1}{\frac{1}{\phi}} = \phi$

Таким образом, мы доказали, что отношение сторон полученного прямоугольника также равно золотому сечению.

Ответ: Отношение сторон $\frac{W}{L-W}$ нового прямоугольника равно $\phi$, то есть золотому сечению. Доказательство основано на том, что если $\frac{L}{W}=\phi$, то $\frac{W}{L-W} = \frac{W}{\phi W - W} = \frac{1}{\phi - 1}$. Из основного свойства золотого сечения $\phi^2 - \phi - 1 = 0$ следует, что $\phi - 1 = \frac{1}{\phi}$, поэтому $\frac{1}{\phi-1} = \phi$.