Номер 3, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Вопросы к параграфу. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 137.

Условие.

Решите уравнения $9x^2 - 1 = 0$ и $x^2 + 9 = 0$, воспользовавшись в качестве образцов примерами 2 и 3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$?

Решение 3.

Решение 4.

Решение уравнения $9x^2 - 1 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения перенесем свободный член (-1) в правую часть уравнения, поменяв его знак:
$9x^2 = 1$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 9:
$x^2 = \frac{1}{9}$
Так как в правой части стоит положительное число, уравнение имеет два корня. Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$
Получаем два корня:
$x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = -\frac{1}{3}$.

Решение уравнения $x^2 + 9 = 0$
Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член (9) в правую часть уравнения, поменяв его знак:
$x^2 = -9$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Поскольку в правой части уравнения находится отрицательное число (-9), данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

Сколько корней может иметь квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$
Рассмотрим общее уравнение вида $ax^2 + c = 0$, где $a \neq 0$.
Выразим из него $x^2$:
$ax^2 = -c$
$x^2 = -\frac{c}{a}$
Количество действительных корней зависит от знака выражения в правой части, то есть от знака дроби $-\frac{c}{a}$. Возможны три случая:
1. Если $-\frac{c}{a} > 0$ (это происходит, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки), то уравнение имеет два различных действительных корня: $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.
2. Если $-\frac{c}{a} = 0$ (это происходит, когда $c = 0$), то уравнение имеет один корень: $x = 0$.
3. Если $-\frac{c}{a} < 0$ (это происходит, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки), то уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: Квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$ может иметь два, один или ноль корней.