Номер 2, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Вопросы к параграфу. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 137.

Условие.

Расскажите, как решают квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Сколько корней оно имеет? Воспользовавшись примером 1 как образцом, решите уравнение $7x^2 - 28x = 0$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение и количество корней уравнения вида $ax^2 + bx = 0$

Уравнение вида $ax^2 + bx = 0$, где $a \neq 0$, является неполным квадратным уравнением, так как в нем отсутствует свободный член ($c=0$). Основной метод его решения — разложение на множители. Алгоритм решения следующий:

1. В левой части уравнения вынести за скобки общий множитель $x$:
   $x(ax + b) = 0$
2. Использовать свойство произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это позволяет перейти от одного сложного уравнения к двум простым:
   $x = 0$ или $ax + b = 0$
3. Найти корни из каждого простого уравнения. Первое уравнение сразу дает корень $x_1 = 0$. Второе уравнение решается так:
   $ax = -b$
   $x_2 = -\frac{b}{a}$

Относительно количества корней:

• Уравнение всегда имеет как минимум один корень: $x_1 = 0$.
• Если коэффициент $b \neq 0$, то второй корень $x_2 = -\frac{b}{a}$ отличен от нуля, и уравнение имеет два различных корня.
• Если коэффициент $b = 0$, то уравнение принимает вид $ax^2 = 0$. В этом случае оно имеет один корень $x = 0$ (его называют корнем кратности 2).

Ответ: Уравнение решается вынесением общего множителя $x$ за скобки, что приводит к корням $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{b}{a}$. Оно имеет два различных корня при $b \neq 0$ и один корень при $b=0$.

Решение уравнения $7x^2 - 28x = 0$

Воспользуемся указанным выше методом. Дано уравнение:

$7x^2 - 28x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $7x$:

$7x(x - 4) = 0$

Теперь приравняем каждый из множителей к нулю, чтобы найти корни:

1) $7x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

Таким образом, данное уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 4$.