Номер 3.64, страница 134 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.64, страница 134.

Условие.

3.64 На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Все они попарно соединены отрезками. Сколько всего отмечено точек, если проведено 105 отрезков?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $n$ — искомое количество отмеченных на плоскости точек.

По условию задачи, все точки попарно соединены отрезками. Отрезок определяется двумя точками. Поскольку никакие три точки не лежат на одной прямой, каждая пара точек образует ровно один уникальный отрезок. Следовательно, общее количество отрезков равно количеству способов выбрать 2 точки из $n$ имеющихся.

Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ элементов по 2, которое вычисляется по формуле: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

В условии сказано, что всего проведено 105 отрезков. Мы можем составить уравнение, приравняв формулу к данному значению: $\frac{n(n-1)}{2} = 105$

Для решения уравнения умножим обе части на 2: $n(n-1) = 210$

Это уравнение можно решить двумя способами.

Способ 1: Решение квадратного уравнения.
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть: $n^2 - n - 210 = 0$ Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$ Так как $\sqrt{841} = 29$, найдем корни уравнения: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 29}{2} = \frac{30}{2} = 15$ $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 29}{2} = \frac{-28}{2} = -14$ Поскольку количество точек $n$ не может быть отрицательным, корень $n_2 = -14$ не подходит.

Способ 2: Метод подбора.
Уравнение $n(n-1) = 210$ означает, что нам нужно найти два последовательных целых числа, произведение которых равно 210. Можно оценить, что $\sqrt{210}$ находится между $\sqrt{196}=14$ и $\sqrt{225}=15$. Проверим эти числа: $15 \cdot 14 = 210$. Следовательно, $n=15$.

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: 15.