Номер 3.59, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.59, страница 133.

Условие.

3.59 Существует ли прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются последовательными чётными числами? последовательными нечётными числами?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи мы воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$). Гипотенуза является самой длинной стороной треугольника.

последовательными чётными числами

Пусть стороны прямоугольного треугольника являются тремя последовательными чётными числами. Мы можем обозначить их как $2n$, $2n+2$ и $2n+4$, где $n$ — натуральное число. Самая длинная сторона, гипотенуза, будет $c = 2n+4$. Две другие стороны, катеты, будут $a = 2n$ и $b = 2n+2$.

Согласно теореме Пифагора:

$(2n)^2 + (2n+2)^2 = (2n+4)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$4n^2 + (4n^2 + 8n + 4) = 4n^2 + 16n + 16$

$8n^2 + 8n + 4 = 4n^2 + 16n + 16$

Перенесём все члены в левую часть уравнения:

$4n^2 - 8n - 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$n^2 - 2n - 3 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, найдя его корни. Например, разложив на множители:

$(n-3)(n+1) = 0$

Корнями уравнения являются $n = 3$ и $n = -1$.

Поскольку длины сторон треугольника должны быть положительными числами, $2n$ должно быть больше нуля, следовательно, $n$ должно быть положительным. Поэтому корень $n = -1$ нам не подходит.

Используем корень $n = 3$ для нахождения сторон треугольника:

Катет $a = 2n = 2 \cdot 3 = 6$

Катет $b = 2n + 2 = 2 \cdot 3 + 2 = 8$

Гипотенуза $c = 2n + 4 = 2 \cdot 3 + 4 = 10$

Мы получили треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Проверим, удовлетворяют ли они теореме Пифагора:

$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$10^2 = 100$

Равенство $100 = 100$ верно. Следовательно, такой треугольник существует.

Ответ: да, существует. Например, прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8, 10.

последовательными нечётными числами

Пусть стороны прямоугольного треугольника являются тремя последовательными нечётными числами. Мы можем обозначить их как $2n+1$, $2n+3$ и $2n+5$, где $n$ — целое неотрицательное число. Гипотенуза будет самой длинной стороной, то есть $c = 2n+5$. Катеты — $a = 2n+1$ и $b = 2n+3$.

Применим теорему Пифагора:

$(2n+1)^2 + (2n+3)^2 = (2n+5)^2$

Раскроем скобки:

$(4n^2 + 4n + 1) + (4n^2 + 12n + 9) = 4n^2 + 20n + 25$

$8n^2 + 16n + 10 = 4n^2 + 20n + 25$

Приведём подобные члены, перенеся всё в левую часть:

$4n^2 - 4n - 15 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой для нахождения корней $n = \frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$, где $A=4$, $B=-4$, $C=-15$.

$n = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15)}}{2 \cdot 4}$

$n = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{8}$

$n = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{8}$

$n = \frac{4 \pm 16}{8}$

Получаем два корня:

$n_1 = \frac{4 + 16}{8} = \frac{20}{8} = 2.5$

$n_2 = \frac{4 - 16}{8} = \frac{-12}{8} = -1.5$

По определению, нечётные числа имеют вид $2k+1$, где $k$ — целое число. В нашем представлении сторон ($2n+1$, $2n+3$, $2n+5$) $n$ должно быть целым числом. Ни один из найденных корней ($2.5$ и $-1.5$) не является целым числом. Это означает, что не существует такого целого $n$, при котором три последовательных нечётных числа образовывали бы стороны прямоугольного треугольника.

Ответ: нет, не существует.