Номер 3.56, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.56, страница 133.

Условие.

3.56 На участке прямоугольной формы со сторонами 7 м и 6 м хотят разместить прямоугольную клумбу площадью $12\ m^2$ так, чтобы ширина образовавшейся вокруг клумбы дорожки была везде одинаковой. Какую ширину должна иметь дорожка?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $x$ — искомая ширина дорожки в метрах. Размеры всего прямоугольного участка — 7 м и 6 м. Вокруг клумбы, которая также имеет прямоугольную форму, расположена дорожка одинаковой ширины. Это означает, что размеры клумбы будут меньше размеров участка на $2x$ по каждой стороне (поскольку дорожка отнимает ширину $x$ с двух противоположных сторон).

Таким образом, длина клумбы составит: $7 - 2x$ м. Ширина клумбы составит: $6 - 2x$ м.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину. По условию задачи, площадь клумбы равна 12 м². Составим уравнение на основе этих данных: $(7 - 2x)(6 - 2x) = 12$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки: $7 \cdot 6 - 7 \cdot 2x - 2x \cdot 6 + (2x)(2x) = 12$ $42 - 14x - 12x + 4x^2 = 12$

Приведем подобные члены и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$: $4x^2 - 26x + 42 - 12 = 0$ $4x^2 - 26x + 30 = 0$

Для удобства вычислений можно разделить все члены уравнения на 2: $2x^2 - 13x + 15 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$): $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 169 - 120 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 7}{4} = \frac{20}{4} = 5$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 7}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

Мы получили два математических решения. Теперь нужно проверить, подходят ли они по смыслу задачи. Ширина дорожки $x$ не может быть такой, чтобы размеры клумбы стали отрицательными или нулевыми. Ширина участка — 6 м, значит, удвоенная ширина дорожки $2x$ должна быть меньше 6 м: $2x < 6 \implies x < 3$

Проверим наши корни: $x_1 = 5$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 3$. Если бы ширина дорожки была 5 м, то ширина клумбы была бы $6 - 2 \cdot 5 = -4$ м, что физически невозможно. $x_2 = 1,5$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 3$.

Следовательно, ширина дорожки должна быть 1,5 м. Давайте выполним проверку. Если ширина дорожки 1,5 м, то: Длина клумбы: $7 - 2 \cdot 1,5 = 7 - 3 = 4$ м. Ширина клумбы: $6 - 2 \cdot 1,5 = 6 - 3 = 3$ м. Площадь клумбы: $4 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 12 \text{ м}^2$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 1,5 м.