Номер 3.50, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.50, страница 132.

Условие.

3.50 Число диагоналей выпуклого $n$-угольника равно $\frac{n(n-3)}{2}$. Существует ли многоугольник, в котором 77 диагоналей; 25 диагоналей? Если существует, то укажите число его сторон.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Число диагоналей выпуклого $n$-угольника определяется формулой $D = \frac{n(n-3)}{2}$, где $D$ — это количество диагоналей, а $n$ — количество сторон. Чтобы многоугольник существовал, число его сторон $n$ должно быть целым числом, большим или равным 3. Проверим, возможно ли это для заданных значений $D$.

77 диагоналей

Подставим в формулу $D=77$ и решим получившееся уравнение относительно $n$:
$\frac{n(n-3)}{2} = 77$
Умножим обе части на 2:
$n(n-3) = 154$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2+bn+c=0$:
$n^2 - 3n - 154 = 0$
Найдем дискриминант:
$Дискриминант = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-154) = 9 + 616 = 625$
Так как дискриминант — положительное число, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{Дискриминант}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{625}}{2} = \frac{3 + 25}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{Дискриминант}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{625}}{2} = \frac{3 - 25}{2} = \frac{-22}{2} = -11$
Количество сторон многоугольника не может быть отрицательным числом, поэтому корень $n_2 = -11$ не подходит. Корень $n_1 = 14$ является натуральным числом ($14 \ge 3$), следовательно, такой многоугольник существует.
Ответ: да, существует; у него 14 сторон.

25 диагоналей

Аналогично подставим в формулу $D=25$:
$\frac{n(n-3)}{2} = 25$
$n(n-3) = 50$
$n^2 - 3n - 50 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$Дискриминант = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 9 + 200 = 209$
Корень из дискриминанта $\sqrt{209}$ не является целым числом ($14^2 = 196$, а $15^2 = 225$). Это означает, что корни уравнения $n = \frac{3 \pm \sqrt{209}}{2}$ не будут целыми числами.
Поскольку количество сторон $n$ должно быть натуральным числом, многоугольника с 25 диагоналями не существует.
Ответ: нет, не существует.