Номер 3.46, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.46, страница 131.

Условие.

Сделайте по условию задачи схематический рисунок и решите задачу (3.46–3.50).

3.46 Садовый участок прямоугольной формы площадью $600 \text{ м}^2$ обнесён забором, длина которого 100 м. Чему равны стороны участка? Чему равны стороны участка такой же площади, если длина забора вокруг него составляет 140 м?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Схематический рисунок:

Сторона $a$

Сторона $b$

$S = 600 \text{ м}^2$ $P = ?$

Сторона $b$

Сторона $a$

Обозначим стороны прямоугольного участка как $a$ и $b$.
Площадь участка ($S$) вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.
Длина забора (периметр $P$) вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$.

Чему равны стороны участка?

По условию дано, что площадь участка $S = 600 \text{ м}^2$, а длина забора (периметр) $P = 100 \text{ м}$.
Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a \cdot b = 600 \\ 2(a + b) = 100 \end{cases} $
Из второго уравнения найдем сумму сторон:
$a + b = \frac{100}{2} = 50$.
Теперь система уравнений выглядит так:
$ \begin{cases} a \cdot b = 600 \\ a + b = 50 \end{cases} $
Такая система может быть решена с помощью теоремы Виета. Стороны $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$.
Подставим известные значения суммы и произведения сторон:
$x^2 - 50x + 600 = 0$.
Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$.
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{50 + \sqrt{100}}{2} = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$.
$x_2 = \frac{50 - \sqrt{100}}{2} = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
Таким образом, стороны прямоугольного участка равны 20 м и 30 м.
Ответ: стороны участка равны 20 м и 30 м.

Чему равны стороны участка такой же площади, если длина забора вокруг него составляет 140 м?

В этом случае площадь участка остается прежней, $S = 600 \text{ м}^2$, а новая длина забора $P = 140 \text{ м}$.
Составим новую систему уравнений для сторон $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a \cdot b = 600 \\ 2(a + b) = 140 \end{cases} $
Из второго уравнения найдем сумму сторон:
$a + b = \frac{140}{2} = 70$.
Снова воспользуемся теоремой Виета и составим квадратное уравнение:
$x^2 - 70x + 600 = 0$.
Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 4900 - 2400 = 2500$.
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{70 + \sqrt{2500}}{2} = \frac{70 + 50}{2} = \frac{120}{2} = 60$.
$x_2 = \frac{70 - \sqrt{2500}}{2} = \frac{70 - 50}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
Следовательно, стороны нового участка равны 10 м и 60 м.
Ответ: стороны участка равны 10 м и 60 м.