Номер 3.41, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.41, страница 127.

Условие.

3.41 Решите уравнение, используя формулу, выведенную в предыдущем задании:

a) $x^2 - 16x + 15 = 0;$

б) $x^2 + 8x - 9 = 0;$

в) $x^2 + 5x - 3 = 0;$

г) $x^2 - 9x + 20 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

В задании требуется решить уравнения, используя специальную формулу. Для приведенных квадратных уравнений вида $x^2 + px + q = 0$ (где коэффициент при $x^2$ равен 1), существует формула для нахождения корней, которая является частным случаем стандартной формулы и часто выводится отдельно:

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Используем эту формулу для решения каждого из уравнений.

а) $x^2 - 16x + 15 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, в котором коэффициенты $p = -16$ и $q = 15$.

Подставляем эти значения в формулу:

$x_{1,2} = -\frac{-16}{2} \pm \sqrt{(\frac{-16}{2})^2 - 15}$

Выполняем вычисления:

$x_{1,2} = 8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 15}$

$x_{1,2} = 8 \pm \sqrt{64 - 15}$

$x_{1,2} = 8 \pm \sqrt{49}$

$x_{1,2} = 8 \pm 7$

Теперь находим оба корня:

$x_1 = 8 - 7 = 1$

$x_2 = 8 + 7 = 15$

Ответ: 1; 15.

б) $x^2 + 8x - 9 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, в котором коэффициенты $p = 8$ и $q = -9$.

Подставляем эти значения в формулу:

$x_{1,2} = -\frac{8}{2} \pm \sqrt{(\frac{8}{2})^2 - (-9)}$

Выполняем вычисления:

$x_{1,2} = -4 \pm \sqrt{4^2 + 9}$

$x_{1,2} = -4 \pm \sqrt{16 + 9}$

$x_{1,2} = -4 \pm \sqrt{25}$

$x_{1,2} = -4 \pm 5$

Теперь находим оба корня:

$x_1 = -4 - 5 = -9$

$x_2 = -4 + 5 = 1$

Ответ: -9; 1.

в) $x^2 + 5x - 3 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, в котором коэффициенты $p = 5$ и $q = -3$.

Подставляем эти значения в формулу:

$x_{1,2} = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (-3)}$

Выполняем вычисления:

$x_{1,2} = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} + 3}$

$x_{1,2} = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{12}{4}}$

$x_{1,2} = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{37}{4}}$

$x_{1,2} = -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{37}}{2}$

Корни уравнения иррациональные:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{37}}{2}$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{37}}{2}$

Ответ: $\frac{-5 - \sqrt{37}}{2}$; $\frac{-5 + \sqrt{37}}{2}$.

г) $x^2 - 9x + 20 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, в котором коэффициенты $p = -9$ и $q = 20$.

Подставляем эти значения в формулу:

$x_{1,2} = -\frac{-9}{2} \pm \sqrt{(\frac{-9}{2})^2 - 20}$

Выполняем вычисления:

$x_{1,2} = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} - 20}$

$x_{1,2} = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} - \frac{80}{4}}$

$x_{1,2} = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

$x_{1,2} = \frac{9}{2} \pm \frac{1}{2}$

Теперь находим оба корня:

$x_1 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: 4; 5.