Номер 3.40, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.40, страница 127.

Условие.

3.40 Выводим новую формулу

Корни приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ можно найти по формуле

$x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$. Выведите эту формулу.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для вывода формулы корней приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ воспользуемся методом выделения полного квадрата. Этот метод позволяет преобразовать левую часть уравнения в квадрат двучлена.

1. Начнём с исходного уравнения:
$x^2 + px + q = 0$

2. Перенесём свободный член $q$ в правую часть уравнения:
$x^2 + px = -q$

3. Чтобы левая часть стала полным квадратом, нужно добавить к ней такое слагаемое, чтобы получилось выражение вида $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$. Сравнивая $x^2 + px$ с $x^2 + 2ax$, видим, что $px = 2ax$, откуда $a = \frac{p}{2}$. Следовательно, недостающее слагаемое — это $a^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2$.

4. Добавим $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ к обеим частям уравнения, чтобы не нарушить равенство:
$x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = -q + \left(\frac{p}{2}\right)^2$

5. Теперь левую часть уравнения можно свернуть по формуле квадрата суммы. Правую часть для удобства перепишем в другом порядке:
$\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$

6. Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что при извлечении корня необходимо учесть оба знака (положительный и отрицательный), поэтому справа появляется знак $\pm$:
$x + \frac{p}{2} = \pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

7. Наконец, выразим переменную $x$, перенеся слагаемое $\frac{p}{2}$ в правую часть с противоположным знаком:
$x = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Таким образом, мы получили искомую формулу для нахождения корней приведённого квадратного уравнения.

Ответ: Формула $x = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$ для корней приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ выводится методом выделения полного квадрата. Последовательные шаги включают перенос свободного члена $q$ в правую часть, добавление к обеим частям слагаемого $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ для создания полного квадрата в левой части, сворачивание левой части до вида $\left(x + \frac{p}{2}\right)^2$, извлечение квадратного корня из обеих частей и, наконец, выражение $x$.