Номер 3.33, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.33, страница 126.

Условие.

3.33 а) $(x-4)^2 = \frac{40-6x}{3};$

б) $\frac{(x-3)^2}{5} = (x-1)^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x-4)^2 = \frac{40-6x}{3}$

Для начала избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на 3:

$3(x-4)^2 = 40-6x$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$3(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) = 40-6x$

$3(x^2 - 8x + 16) = 40-6x$

Теперь раскроем скобки, умножив каждый член на 3:

$3x^2 - 24x + 48 = 40-6x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$3x^2 - 24x + 6x + 48 - 40 = 0$

$3x^2 - 18x + 8 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 324 - 96 = 228$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{228} = \sqrt{4 \cdot 57} = 2\sqrt{57}$

$x_{1,2} = \frac{-(-18) \pm 2\sqrt{57}}{2 \cdot 3} = \frac{18 \pm 2\sqrt{57}}{6}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{3}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{9 + \sqrt{57}}{3}$, $x_2 = \frac{9 - \sqrt{57}}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{9 + \sqrt{57}}{3}, x_2 = \frac{9 - \sqrt{57}}{3}$.

б) $\frac{(x-3)^2}{5} = (x-1)^2$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:

$(x-3)^2 = 5(x-1)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулу квадрата разности:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = 5(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2)$

$x^2 - 6x + 9 = 5(x^2 - 2x + 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$x^2 - 6x + 9 = 5x^2 - 10x + 5$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0 = 5x^2 - x^2 - 10x + 6x + 5 - 9$

$0 = 4x^2 - 4x - 4$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$x^2 - x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.