Номер 3.30, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.30, страница 126.

Условие.

3.30 Найдите значения переменной $a$, при которых:

а) значение выражения $5a^2 + 5a - 6$ равно 24;

б) значение выражения $a(a - 4)$ равно 60.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) значение выражения $5a^2 + 5a - 6$ равно 24;

Чтобы найти значения переменной a, нужно приравнять выражение к 24 и решить полученное уравнение:

$5a^2 + 5a - 6 = 24$

Перенесём 24 в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$5a^2 + 5a - 6 - 24 = 0$

$5a^2 + 5a - 30 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 5:

$a^2 + a - 6 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A=1$, $B=1$, $C=-6$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных корня, которые мы найдем по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$a_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$a_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $a = 2$ или $a = -3$.

б) значение выражения $a(a - 4)$ равно 60.

Аналогично, приравняем выражение к 60 и решим уравнение:

$a(a - 4) = 60$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду, перенеся 60 в левую часть:

$a^2 - 4a = 60$

$a^2 - 4a - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты: $A=1$, $B=-4$, $C=-60$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

Найдем корни уравнения по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$a_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$a_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $a = 10$ или $a = -6$.