Номер 3.36, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.36, страница 127.

Условие.

3.36 Сколько корней может иметь биквадратное уравнение? Объясните свой ответ.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$.

Для его решения используется метод замены переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то для действительных корней должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$at^2 + bt + c = 0$

Количество действительных корней исходного биквадратного уравнения зависит от количества и знаков корней этого вспомогательного квадратного уравнения. Проанализируем все возможные случаи.

Четыре корня

Биквадратное уравнение имеет четыре различных действительных корня, если вспомогательное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ имеет два различных положительных корня ($t_1 > 0$ и $t_2 > 0$). В этом случае каждое из уравнений $x^2 = t_1$ и $x^2 = t_2$ даёт по два различных корня: $x = \pm\sqrt{t_1}$ и $x = \pm\sqrt{t_2}$.

Пример: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. Замена $t = x^2$ приводит к уравнению $t^2 - 5t + 4 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня положительны. Из $x^2 = 1$ получаем $x = \pm1$. Из $x^2 = 4$ получаем $x = \pm2$. Итого четыре корня: $-2, -1, 1, 2$.

Три корня

Три различных действительных корня получаются, если вспомогательное уравнение имеет один положительный корень и один корень, равный нулю ($t_1 > 0$, $t_2 = 0$). Уравнение $x^2 = t_1$ даёт два корня $x = \pm\sqrt{t_1}$, а уравнение $x^2 = 0$ даёт один корень $x = 0$.

Пример: $x^4 - 9x^2 = 0$. Замена $t = x^2$ приводит к $t^2 - 9t = 0$ или $t(t-9)=0$. Корни $t_1 = 9$ и $t_2 = 0$. Из $x^2 = 9$ получаем $x = \pm3$. Из $x^2 = 0$ получаем $x = 0$. Итого три корня: $-3, 0, 3$.

Два корня

Два различных действительных корня возможны в двух случаях:

1. Вспомогательное уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень ($t_1 > 0$, $t_2 < 0$). Тогда уравнение $x^2 = t_1$ даёт два корня $x = \pm\sqrt{t_1}$, а уравнение $x^2 = t_2$ не имеет действительных корней.
   Пример: $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$. Замена $t = x^2$ приводит к $t^2 - 2t - 8 = 0$. Корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$. Из $x^2 = 4$ получаем $x = \pm2$. Уравнение $x^2 = -2$ действительных корней не имеет. Итого два корня: $-2, 2$.
2. Вспомогательное уравнение имеет один-единственный положительный корень (случай, когда дискриминант $D=0$, и корень $t = -b/(2a) > 0$). Тогда уравнение $x^2 = t$ даёт два корня $x = \pm\sqrt{t}$.
   Пример: $x^4 - 8x^2 + 16 = 0$. Замена $t = x^2$ приводит к $t^2 - 8t + 16 = 0$ или $(t-4)^2 = 0$. Единственный корень $t = 4$. Из $x^2 = 4$ получаем $x = \pm2$. Итого два корня: $-2, 2$.

Один корень

Один действительный корень ($x=0$) биквадратное уравнение имеет, если вспомогательное уравнение имеет единственный корень, и этот корень равен нулю ($t = 0$). Это происходит, когда вспомогательное уравнение имеет вид $at^2=0$, что соответствует исходному уравнению вида $ax^4=0$.

Пример: $3x^4 = 0$. Уравнение имеет единственный корень $x = 0$. Вспомогательное уравнение $3t^2 = 0$ также имеет единственный корень $t=0$.

Ноль корней

Биквадратное уравнение не имеет действительных корней в следующих случаях:

• Вспомогательное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ не имеет действительных корней (его дискриминант $D < 0$).
  Пример: $x^4 + x^2 + 1 = 0$. Для $t^2 + t + 1 = 0$ дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Нет действительных корней для $t$, а значит, и для $x$.
• Вспомогательное уравнение имеет действительные корни, но все они отрицательные. Так как $t = x^2$ не может быть отрицательным, действительных корней для $x$ не будет.
  Пример (два отрицательных корня): $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$. Для $t^2 + 5t + 4 = 0$ корни $t_1 = -1$, $t_2 = -4$. Оба отрицательные, поэтому действительных корней у исходного уравнения нет.
  Пример (один отрицательный корень): $x^4 + 2x^2 + 1 = 0$. Для $t^2 + 2t + 1 = 0$ есть один корень $t = -1$. Он отрицательный, поэтому действительных корней нет.

Таким образом, биквадратное уравнение может иметь от нуля до четырех действительных корней.

Ответ: Биквадратное уравнение может иметь ноль, один, два, три или четыре действительных корня.