Номер 3.42, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.42, страница 128.

Условие.

3.42 ИССЛЕДУЕМ

1) a) Дано уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$. Запишите новое уравнение, поменяв местами в данном уравнении коэффициенты $a$ и $c$. Решите оба уравнения. Как связаны между собой их корни?

б) Докажите, что если числа $m$ и $n$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ $(a \neq 0$ и $c \neq 0)$, то корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$ являются числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$.

Указание. Для доказательства воспользуйтесь подстановкой чисел $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ в соответствующее уравнение.

в) Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Проверьте себя, решив эти уравнения.

2) a) Решите уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ и $2x^2 - 3x - 5 = 0$. Как связаны между собой их корни?

б) Докажите, что если квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет корни $m$ и $n$, то корни уравнения $ax^2 - bx + c = 0$ — числа $-m$ и $-n$.

в) Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$. Проверьте себя, решив оба уравнения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) а)

Дано уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$. Коэффициенты: $a=2, b=-7, c=3$.

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.

Корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Теперь запишем новое уравнение, поменяв местами коэффициенты $a$ и $c$. Новые коэффициенты: $a=3, b=-7, c=2$.
Новое уравнение: $3x^2 - 7x + 2 = 0$.

Решим новое уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

Корни нового уравнения:
$x'_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$.
$x'_1 = \frac{7+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$x'_2 = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Сравним корни: корни первого уравнения $\{3, \frac{1}{2}\}$, корни второго уравнения $\{2, \frac{1}{3}\}$.
Корни второго уравнения являются обратными числами к корням первого уравнения: $2 = \frac{1}{1/2}$ и $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: Новое уравнение $3x^2 - 7x + 2 = 0$. Корни этих двух уравнений являются взаимно обратными числами.

1) б)

Пусть числа $m$ и $n$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что при подстановке этих чисел в уравнение получаются верные равенства:
$am^2 + bm + c = 0$
$an^2 + bn + c = 0$

По условию $a \ne 0$ и $c \ne 0$. Если $c \ne 0$, то ни один из корней не может быть равен нулю (иначе, если $m=0$, то $a\cdot0^2+b\cdot0+c=0$, откуда $c=0$, что противоречит условию). Следовательно, числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ существуют.

Проверим, являются ли числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$. Для этого подставим $x = \frac{1}{m}$ в левую часть этого уравнения:

$c(\frac{1}{m})^2 + b(\frac{1}{m}) + a = \frac{c}{m^2} + \frac{b}{m} + a$

Приведем выражение к общему знаменателю $m^2$:
$\frac{c + bm + am^2}{m^2}$

Поскольку $m$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, мы знаем, что числитель $am^2 + bm + c$ равен нулю. Таким образом, все выражение равно $\frac{0}{m^2} = 0$.

Это доказывает, что $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$. Аналогичное доказательство можно провести и для числа $\frac{1}{n}$.

Ответ: Утверждение доказано.

1) в)

Дано уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. Его коэффициенты: $a=1, b=-5, c=6$.
Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого обратны корням данного, нужно, согласно доказанному в пункте б), поменять местами коэффициенты $a$ и $c$.

Новое уравнение будет иметь коэффициенты $a'=c=6$, $b'=b=-5$, $c'=a=1$.
Искомое уравнение: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.

Проверка:
1. Решим исходное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2, x_2 = 3$.
2. Решим полученное уравнение $6x^2 - 5x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
Корни: $x'_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.
$x'_1 = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$; $x'_2 = \frac{5-1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Корни нового уравнения ($\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$) являются обратными к корням исходного уравнения (2 и 3). Проверка пройдена.

Ответ: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.

2) а)

Решим первое уравнение $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 \pm 7}{4}$.
$x_1 = \frac{-3+7}{4} = 1$; $x_2 = \frac{-3-7}{4} = -\frac{10}{4} = -2.5$.

Решим второе уравнение $2x^2 - 3x - 5 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
$x'_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{3 \pm 7}{4}$.
$x'_1 = \frac{3+7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$; $x'_2 = \frac{3-7}{4} = -1$.

Корни первого уравнения: $\{1, -2.5\}$. Корни второго уравнения: $\{-1, 2.5\}$.
Корни второго уравнения являются противоположными числами к корням первого уравнения.

Ответ: Корни уравнений являются взаимно противоположными числами.

2) б)

Пусть числа $m$ и $n$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что:
$am^2 + bm + c = 0$
$an^2 + bn + c = 0$

Проверим, являются ли числа $-m$ и $-n$ корнями уравнения $ax^2 - bx + c = 0$. Для этого подставим $x = -m$ в левую часть этого уравнения:

$a(-m)^2 - b(-m) + c = a(m^2) + b(m) + c = am^2 + bm + c$.

Так как $m$ — корень первого уравнения, то $am^2 + bm + c = 0$. Значит, и $a(-m)^2 - b(-m) + c = 0$, что доказывает, что $-m$ является корнем второго уравнения. Аналогично для $-n$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) в)

Дано уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$. Его коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-1$.
Чтобы составить уравнение, корни которого противоположны корням данного, нужно, согласно доказанному в пункте б), изменить знак коэффициента $b$.

Новое уравнение будет иметь коэффициенты $a'=2, b'=-b=-(-1)=1, c'=-1$.
Искомое уравнение: $2x^2 + x - 1 = 0$.

Проверка:
1. Решим исходное уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$.
$x_1 = \frac{1+3}{4} = 1$; $x_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.
2. Решим полученное уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$x'_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.
$x'_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$; $x'_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.

Корни нового уравнения ($\frac{1}{2}$ и $-1$) являются противоположными к корням исходного уравнения ($-\frac{1}{2}$ и $1$). Проверка пройдена.

Ответ: $2x^2 + x - 1 = 0$.