Номер 3.45, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.45, страница 131.

Условие.

3.45 a) Одна из сторон стандартного листа бумаги для пишущих машинок на 9 см больше другой. Площадь листа равна $630 \, \text{см}^2$. Найдите размеры листа.

б) Под аттракционы отвели площадку прямоугольной формы, одна из сторон которой на 4 м больше другой. Её площадь равна $165 \, \text{м}^2$. Найдите стороны площадки.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Пусть одна из сторон листа бумаги равна $x$ см. Тогда, согласно условию, другая сторона равна $(x + 9)$ см. Лист имеет прямоугольную форму, поэтому его площадь вычисляется как произведение длин его сторон. Составим уравнение:

$S = x \cdot (x + 9)$

По условию задачи площадь листа равна 630 см². Подставим это значение в уравнение:

$x(x + 9) = 630$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 9x - 630 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой корней через дискриминант. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1, b = 9, c = -630$.

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-630) = 81 + 2520 = 2601$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 51}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 51}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Так как длина стороны не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -30$ не является решением задачи. Следовательно, одна сторона листа равна 21 см.

Найдем вторую сторону:

$x + 9 = 21 + 9 = 30$ см.

Проверим полученный результат: площадь равна $21 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} = 630 \text{ см}^2$, что соответствует условию задачи.

Ответ: размеры листа бумаги 21 см и 30 см.

б) Пусть одна из сторон прямоугольной площадки равна $y$ м. Тогда, по условию, другая сторона на 4 м больше и равна $(y + 4)$ м. Площадь площадки вычисляется как произведение ее сторон. Составим уравнение:

$S = y \cdot (y + 4)$

Известно, что площадь равна 165 м². Подставим это значение:

$y(y + 4) = 165$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 + 4y - 165 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

В данном случае коэффициенты: $a = 1, b = 4, c = -165$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-165) = 16 + 660 = 676$

Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 26}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 26}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Поскольку длина стороны площадки не может быть отрицательной, корень $y_2 = -15$ не подходит. Значит, одна сторона площадки равна 11 м.

Найдем вторую сторону:

$y + 4 = 11 + 4 = 15$ м.

Проверим результат: площадь равна $11 \text{ м} \cdot 15 \text{ м} = 165 \text{ м}^2$, что соответствует условию.

Ответ: стороны площадки 11 м и 15 м.