Номер 3.48, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.48, страница 131.

Условие.

3.48 Один катет прямоугольного треугольника на 7 см больше другого, а периметр треугольника равен 30 см. Найдите все стороны треугольника.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть длина одного (меньшего) катета прямоугольного треугольника равна $x$ см. Согласно условию задачи, длина второго катета на 7 см больше, следовательно, она равна $(x + 7)$ см. Обозначим длину гипотенузы как $c$.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 30 см. Составим уравнение:
$P = x + (x + 7) + c = 30$

Упростим выражение и выразим гипотенузу $c$ через $x$:
$2x + 7 + c = 30$
$c = 30 - 7 - 2x$
$c = 23 - 2x$

В прямоугольном треугольнике действует теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в формулу теоремы Пифагора выражения для катетов и гипотенузы через $x$:
$x^2 + (x + 7)^2 = (23 - 2x)^2$

Теперь необходимо решить полученное уравнение. Для этого раскроем скобки:
$x^2 + (x^2 + 14x + 49) = (529 - 92x + 4x^2)$
$2x^2 + 14x + 49 = 4x^2 - 92x + 529$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$, перенеся все члены в одну сторону:
$4x^2 - 2x^2 - 92x - 14x + 529 - 49 = 0$
$2x^2 - 106x + 480 = 0$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - 53x + 240 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-53)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 2809 - 960 = 1849$
$\sqrt{D} = \sqrt{1849} = 43$

Теперь найдем возможные значения для $x$:
$x_1 = \frac{-(-53) + 43}{2 \cdot 1} = \frac{53 + 43}{2} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{-(-53) - 43}{2 \cdot 1} = \frac{53 - 43}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Проанализируем полученные значения $x$.
1. Если катет $x = 48$ см, то это значение не может быть решением, так как одна сторона треугольника (48 см) оказывается больше его периметра (30 см), что невозможно.
2. Если катет $x = 5$ см, это значение допустимо. Найдем длины остальных сторон:
Второй катет: $x + 7 = 5 + 7 = 12$ см.
Гипотенуза: $c = 23 - 2x = 23 - 2 \cdot 5 = 23 - 10 = 13$ см.

Проверим найденные стороны.
Проверка по теореме Пифагора: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. $13^2 = 169$. Равенство $169=169$ верно.
Проверка периметра: $5 + 12 + 13 = 30$ см. Условие задачи выполняется.

Ответ: стороны треугольника равны 5 см, 12 см и 13 см.