Номер 3.54, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.54, страница 132.

Условие.

3.54 Футболист на тренировке подбрасывает головой мяч вертикально вверх. Если он подбросит мяч, сообщив ему начальную скорость 10 м/с, то через сколько секунд мяч окажется в 6 м над землёй? (Рост футболиста считайте равным 200 см, ответ дайте приближённо с одним знаком после запятой.)

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи воспользуемся уравнением движения тела, брошенного вертикально вверх с некоторой начальной высоты. Высота мяча $h$ над землей в момент времени $t$ описывается формулой:

$h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

В этой формуле:

$h_0$ — начальная высота, с которой подбрасывают мяч.

$v_0$ — начальная скорость мяча.

$g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 9,8 \text{ м/с²}$).

$t$ — время.

Согласно условию задачи, имеем следующие данные:

Начальная скорость $v_0 = 10 \text{ м/с}$.

Рост футболиста 200 см, что составляет 2 м. Мяч подбрасывается головой, поэтому начальная высота мяча над землей равна росту футболиста: $h_0 = 2 \text{ м}$.

Конечная высота, на которой должен оказаться мяч, $h(t) = 6 \text{ м}$.

Подставим известные значения в уравнение движения:

$6 = 2 + 10t - \frac{9,8t^2}{2}$

Упростим уравнение:

$6 = 2 + 10t - 4,9t^2$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $at^2 + bt + c = 0$:

$4,9t^2 - 10t + 6 - 2 = 0$

$4,9t^2 - 10t + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно времени $t$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В нашем случае коэффициенты равны: $a = 4,9$, $b = -10$, $c = 4$.

Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot 4 = 100 - 78,4 = 21,6$

Поскольку дискриминант положителен ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что мяч побывает на высоте 6 метров дважды: один раз при подъеме и второй раз при падении.

Найдем эти два значения времени:

$t = \frac{10 \pm \sqrt{21,6}}{2 \cdot 4,9} = \frac{10 \pm \sqrt{21,6}}{9,8}$

Вычислим значение $\sqrt{21,6} \approx 4,648$.

Теперь найдем корни:

$t_1 = \frac{10 - 4,648}{9,8} = \frac{5,352}{9,8} \approx 0,546 \text{ с}$

$t_2 = \frac{10 + 4,648}{9,8} = \frac{14,648}{9,8} \approx 1,495 \text{ с}$

Согласно условию, ответ нужно дать приближенно с одним знаком после запятой. Округляем полученные значения:

$t_1 \approx 0,5 \text{ с}$

$t_2 \approx 1,5 \text{ с}$

Таким образом, мяч окажется на высоте 6 метров через 0,5 секунды (во время подъема) и через 1,5 секунды (во время падения).

Ответ: мяч окажется на высоте 6 м над землей через 0,5 с и 1,5 с.