Номер 3.60, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.60, страница 133.

Условие.

3.60 Сумму $n$ последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно вычислить по формуле $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. Определите, сколько натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получилось 66. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел от 1 до $n$ надо сложить, чтобы их сумма была больше 55?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Определите, сколько натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получилось 66.

Для решения этой задачи используется формула суммы $n$ первых последовательных натуральных чисел: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Согласно условию, сумма $S_n$ равна 66. Необходимо найти значение $n$. Подставим известное значение суммы в формулу:

$\frac{n(n+1)}{2} = 66$

Умножим обе части уравнения на 2:

$n(n+1) = 132$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$n^2 + n = 132$

$n^2 + n - 132 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{529}}{2} = \frac{-1 + 23}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{529}}{2} = \frac{-1 - 23}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку $n$ — это количество натуральных чисел, оно должно быть положительным целым числом. Поэтому корень $n_2 = -12$ не подходит по условию задачи.

Таким образом, для получения суммы 66 нужно сложить 11 чисел.

Ответ: 11.

Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел от 1 до n надо сложить, чтобы их сумма была больше 55?

В этом случае нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, при котором сумма $S_n$ будет строго больше 55. Составим и решим неравенство:

$S_n > 55$

$\frac{n(n+1)}{2} > 55$

Умножим обе части неравенства на 2:

$n(n+1) > 110$

Раскроем скобки и перенесем все в левую часть:

$n^2 + n - 110 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $n^2 + n - 110 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$

Корни уравнения:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Функция $y = n^2 + n - 110$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны при $n < -11$ и $n > 10$.

Так как $n$ — это количество натуральных чисел, оно должно быть положительным целым числом, поэтому нас интересует только решение $n > 10$.

Наименьшее целое число, которое больше 10, — это 11.

Выполним проверку:

При $n=10$, $S_{10} = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{110}{2} = 55$. Это значение не больше 55.

При $n=11$, $S_{11} = \frac{11(11+1)}{2} = \frac{132}{2} = 66$. Это значение больше 55.

Следовательно, наименьшее количество чисел, которое нужно сложить, равно 11.

Ответ: 11.