Номер 3.55, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.55, страница 133.

Условие.

Сделайте по условию задачи схематический рисунок и решите задачу (3.55—3.58).

3.55 Из металлического листа, имеющего форму прямоугольника, длина которого в 1,5 раза больше ширины, сделан открытый сверху ящик. Для этого по углам листа вырезаны квадраты со стороной $3 \text{ дм}$ и получившиеся боковые грани загнуты. Найдите размеры листа, если объём получившегося ящика оказался равным $216 \text{ дм}^3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Схематический рисунок

Представим исходный прямоугольный лист металла. Обозначим его ширину как $w$, а длину как $l$. По условию $l = 1.5w$. Из каждого из четырех углов листа вырезают по квадрату со стороной 3 дм. Оставшаяся часть листа, если ее развернуть, будет иметь форму креста. Центральный прямоугольник этого "креста" станет дном ящика, а четыре боковых "лепестка" — его стенками. При загибании стенок вверх высота ящика $h$ будет равна стороне вырезанного квадрата, то есть 3 дм. Длина и ширина дна ящика будут меньше исходных размеров листа на две высоты (по 3 дм с каждой стороны):
Длина дна ящика: $a = l - 2 \cdot 3 = l - 6$ дм.
Ширина дна ящика: $b = w - 2 \cdot 3 = w - 6$ дм.

Решение задачи

Пусть ширина исходного листа $w = x$ дм. Тогда его длина $l = 1.5x$ дм. После вырезания квадратов и сборки ящика его размеры будут:
Высота: $h = 3$ дм.
Длина: $a = 1.5x - 6$ дм.
Ширина: $b = x - 6$ дм.
Поскольку размеры ящика должны быть положительными, необходимо выполнение условия $x - 6 > 0$, то есть $x > 6$.

Объем ящика, который является прямоугольным параллелепипедом, вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$. По условию, объем равен 216 дм³. Составим уравнение: $$(1.5x - 6)(x - 6) \cdot 3 = 216$$

Решим это уравнение. Разделим обе части на 3: $$(1.5x - 6)(x - 6) = 72$$ Раскроем скобки: $$1.5x^2 - 9x - 6x + 36 = 72$$ Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2+Bx+C=0$: $$1.5x^2 - 15x - 36 = 0$$ Умножим уравнение на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами: $$3x^2 - 30x - 72 = 0$$ Разделим уравнение на 3 для упрощения: $$x^2 - 10x - 24 = 0$$

Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$$ Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{10 + \sqrt{196}}{2} = \frac{10 + 14}{2} = 12$$ $$x_2 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{10 - \sqrt{196}}{2} = \frac{10 - 14}{2} = -2$$

Корень $x_2 = -2$ не является решением задачи, так как ширина листа не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет условию $x>6$. Следовательно, ширина исходного листа металла равна 12 дм. Найдем длину листа: $$l = 1.5x = 1.5 \cdot 12 = 18 \text{ дм}$$

Проверим полученный результат. Размеры основания ящика: $a = 18-6=12$ дм, $b=12-6=6$ дм. Высота $h=3$ дм. Объем $V = 12 \cdot 6 \cdot 3 = 216$ дм³. Результат верен.

Ответ: размеры металлического листа 18 дм и 12 дм.