Номер 3.57, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.57, страница 133.

Условие.

3.57 В парке имеется детский бассейн прямоугольной формы со сторонами 6 м и 9 м. Он окружён прогулочной дорожкой, ширина которой везде одинакова. Площадь дорожки равна площади бассейна. Найдите ширину дорожки.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Сначала найдем площадь детского бассейна. Поскольку бассейн имеет прямоугольную форму со сторонами 6 м и 9 м, его площадь $S_{бассейна}$ вычисляется как произведение сторон:
$S_{бассейна} = 6 \text{ м} \cdot 9 \text{ м} = 54 \text{ м}^2$.

Согласно условию задачи, площадь прогулочной дорожки $S_{дорожки}$ равна площади бассейна. Таким образом:
$S_{дорожки} = 54 \text{ м}^2$.

Пусть $x$ — искомая ширина дорожки в метрах. Дорожка окружает бассейн с каждой стороны, поэтому общие размеры бассейна вместе с дорожкой образуют больший прямоугольник. Длина этого большего прямоугольника будет $9 + 2x$ метров, а ширина — $6 + 2x$ метров.

Общая площадь $S_{общая}$ (бассейн плюс дорожка) равна произведению сторон большего прямоугольника:
$S_{общая} = (9 + 2x)(6 + 2x)$.

Также общая площадь равна сумме площадей бассейна и дорожки:
$S_{общая} = S_{бассейна} + S_{дорожки}$.
Так как $S_{дорожки} = S_{бассейна}$, получаем:
$S_{общая} = S_{бассейна} + S_{бассейна} = 2 \cdot S_{бассейна} = 2 \cdot 54 = 108 \text{ м}^2$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей площади:
$(9 + 2x)(6 + 2x) = 108$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$54 + 18x + 12x + 4x^2 = 108$
$4x^2 + 30x + 54 - 108 = 0$
$4x^2 + 30x - 54 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все коэффициенты уравнения на 2:
$2x^2 + 15x - 27 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 225 + 216 = 441$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-15 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
$x_2 = \frac{-15 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{-36}{4} = -9$

Ширина дорожки не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -9$ не является решением задачи. Единственный физически осмысленный корень — это $x_1 = 1.5$.

Ответ: 1,5 м.