Номер 3.43, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.43, страница 131.

Условие.

3.43 a) Найдите два последовательных целых числа, произведение которых равно 210.

б) Найдите два последовательных натуральных нечётных числа, произведение которых равно 323.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть первое искомое целое число равно $n$. Поскольку числа последовательные, второе число будет равно $n+1$.

Согласно условию, произведение этих чисел равно 210. Составим и решим уравнение:

$n(n+1) = 210$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

$n^2 + n = 210$

$n^2 + n - 210 = 0$

Для решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$

Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$

$n_1 = \frac{-1 + 29}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$n_2 = \frac{-1 - 29}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Мы получили два возможных значения для первого числа. Найдем соответствующие вторые числа:

1. Если первое число $n_1 = 14$, то второе число равно $n+1 = 14+1=15$. Проверяем: $14 \cdot 15 = 210$. Это решение подходит.

2. Если первое число $n_2 = -15$, то второе число равно $n+1 = -15+1=-14$. Проверяем: $(-15) \cdot (-14) = 210$. Это решение также подходит.

Таким образом, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию.

Ответ: 14 и 15 или -15 и -14.

б)

Пусть первое искомое натуральное нечётное число равно $x$. Поскольку числа являются последовательными нечётными, следующее нечётное число будет на 2 больше, то есть $x+2$.

По условию, произведение этих чисел равно 323. Составим и решим уравнение:

$x(x+2) = 323$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 2x = 323$

$x^2 + 2x - 323 = 0$

Для решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-323) = 4 + 1292 = 1296$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$

$x_1 = \frac{-2 + 36}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$x_2 = \frac{-2 - 36}{2} = \frac{-38}{2} = -19$

В условии сказано, что числа должны быть натуральными, то есть положительными целыми. Корень $x_2 = -19$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.

Единственный подходящий корень — $x_1 = 17$. Это нечётное натуральное число.

Тогда первое число равно 17, а второе число равно $x+2 = 17+2=19$.

Проверяем: $17 \cdot 19 = 323$. Решение верное.

Ответ: 17 и 19.