Номер 2, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Вопросы к параграфу. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 130.

Условие.

Прочитайте задачу: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 29 см, а один его катет больше другого на 1 см. Найдите катеты треугольника».

Решите задачу по плану:

1) Введите неизвестное и составьте уравнение, используя теорему Пифагора. 2) Упростите составленное уравнение и решите его. 3) Исследуйте полученные решения, сделайте вывод и запишите ответ.

Решение 3.

Решение 4.

1) Введите неизвестное и составьте уравнение, используя теорему Пифагора.

Пусть длина одного (меньшего) катета прямоугольного треугольника равна $x$ см. Поскольку по условию другой катет на 1 см больше, его длина будет составлять $(x + 1)$ см. Длина гипотенузы известна и равна 29 см.
Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов ($a$ и $b$) равна квадрату длины гипотенузы ($c$): $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставим в эту формулу наши значения:
$x^2 + (x + 1)^2 = 29^2$
Это уравнение является математической моделью задачи.

2) Упростите составленное уравнение и решите его.

Для решения составленного уравнения сначала упростим его. Раскроем скобки и возведем в квадрат известное значение гипотенузы:
$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$
$29^2 = 841$
Теперь подставим эти значения обратно в уравнение:
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 841$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 + 2x + 1 - 841 = 0$
$2x^2 + 2x - 840 = 0$
Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 2:
$x^2 + x - 420 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=1, c=-420$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$
$x_1 = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{-1 - 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21$
Таким образом, решениями уравнения являются числа 20 и -21.

3) Исследуйте полученные решения, сделайте вывод и запишите ответ.

Мы получили два математических решения: $x_1 = 20$ и $x_2 = -21$. Однако, $x$ в нашей задаче представляет собой длину катета треугольника. Длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -21$ не удовлетворяет условию задачи и является посторонним.
Следовательно, для решения подходит только положительный корень $x_1 = 20$.
Итак, длина меньшего катета равна 20 см.
Тогда длина большего катета равна $x + 1 = 20 + 1 = 21$ см.
Выполним проверку: $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$. $29^2 = 841$. Равенство $841 = 841$ верно, значит, катеты найдены правильно.
Ответ: длины катетов треугольника равны 20 см и 21 см.