Номер 1, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Вопросы к параграфу. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 1, страница 130.

Условие.

Расскажите, как составлена математическая модель ситуации, описанной в задаче примера 1. Какой из полученных корней уравнения не удовлетворяет условию задачи и почему?

Решение 3.

Решение 4.

Расскажите, как составлена математическая модель ситуации, описанной в задаче примера 1

Математическая модель — это перевод условий задачи с обычного языка на язык математики (формул, уравнений, неравенств). Поскольку текст примера 1 не предоставлен, рассмотрим процесс на типичной задаче, которая приводит к квадратному уравнению.

Предположим, условие задачи 1 было таким: "Площадь прямоугольного участка земли составляет 525 м². Найдите его стороны, если одна сторона на 10 м длиннее другой."

Процесс составления математической модели (уравнения) для этой задачи состоит из следующих шагов:
1. Введение переменной. Необходимо выбрать неизвестную величину, которую мы обозначим за $x$. Удобнее всего за $x$ брать меньшую из величин. Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ метров.
2. Выражение других величин через введенную переменную. По условию, другая сторона на 10 м длиннее. Следовательно, ее длина будет равна $(x + 10)$ метров.
3. Составление уравнения. Условие, связывающее все величины, — это площадь. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон ($S = a \cdot b$). По условию, площадь равна 525 м². Составляем уравнение, приравнивая произведение сторон к известной площади:
$x \cdot (x + 10) = 525$

Это уравнение и является математической моделью данной ситуации. Для решения его обычно приводят к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + 10x = 525$
$x^2 + 10x - 525 = 0$

Ответ: Математическая модель составляется путем введения переменной ($x$) для обозначения неизвестной величины (например, меньшей стороны), выражения через нее других величин (большей стороны, $x+10$) и составления уравнения ($x(x+10)=525$), связывающего эти величины на основе данных задачи (площади).

Какой из полученных корней уравнения не удовлетворяет условию задачи и почему?

Решим составленное квадратное уравнение $x^2 + 10x - 525 = 0$ с помощью формулы корней.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-525) = 100 + 2100 = 2200$.
Дискриминант не является полным квадратом, что бывает в задачах. Давайте для наглядности вернемся к гипотетической задаче из первого пункта, но с площадью 200 м², чтобы получить целые корни.

Пусть уравнение было $x^2 + 10x - 200 = 0$.
$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$.
$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$.

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 30}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 30}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$.

Уравнение имеет два математических корня: 10 и -20. Однако исходная задача — не абстрактная математическая, а практическая. В ней переменная $x$ обозначает длину стороны прямоугольника.

Длина, как физическая величина, может быть только положительным числом. Поэтому корень $x_2 = -20$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи и не может быть ее решением. Такой корень называют посторонним.
Корень $x_1 = 10$ является положительным числом и удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Корень $x = -20$ не удовлетворяет условию задачи, потому что переменная $x$ обозначает длину стороны, а длина не может быть отрицательной величиной.