Номер 3.38, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.38, страница 127.

Условие.

3.38 Решите уравнение (введите подходящую замену):

a) $(x^2 - x - 1)^2 - 10(x^2 - x - 1) + 9 = 0;$

б) $(x^2 - 4x + 3)^2 + 6(x^2 - 4x + 6) - 34 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x^2 - x - 1)^2 - 10(x^2 - x - 1) + 9 = 0$

В данном уравнении выражение $(x^2 - x - 1)$ встречается дважды. Это позволяет нам упростить уравнение с помощью введения новой переменной.

Пусть $t = x^2 - x - 1$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $t$. Мы можем решить его, используя теорему Виета или через дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Отсюда находим корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 9$

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Рассмотрим случай, когда $t = 1$:

$x^2 - x - 1 = 1$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$.

$x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$

2. Рассмотрим случай, когда $t = 9$:

$x^2 - x - 1 = 9$

$x^2 - x - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41$.

Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$.

$x_3 = \frac{1 + \sqrt{41}}{2}$

$x_4 = \frac{1 - \sqrt{41}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 2; \frac{1 - \sqrt{41}}{2}; \frac{1 + \sqrt{41}}{2}$.

б) $(x^2 - 4x + 3)^2 + 6(x^2 - 4x + 6) - 34 = 0$

В этом уравнении выражения в скобках отличаются только свободным членом. Мы можем выделить общую часть и сделать замену.

Пусть $t = x^2 - 4x + 3$. Тогда второе выражение можно записать через $t$:

$x^2 - 4x + 6 = (x^2 - 4x + 3) + 3 = t + 3$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$t^2 + 6(t + 3) - 34 = 0$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$t^2 + 6t + 18 - 34 = 0$

$t^2 + 6t - 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение -16. Корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = -8$

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Рассмотрим случай, когда $t = 2$:

$x^2 - 4x + 3 = 2$

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Корни: $x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

$x_1 = 2 + \sqrt{3}$

$x_2 = 2 - \sqrt{3}$

2. Рассмотрим случай, когда $t = -8$:

$x^2 - 4x + 3 = -8$

$x^2 - 4x + 11 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 16 - 44 = -28$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$.