Номер 3.32, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.32, страница 126.

Условие.

3.32 a) $(x-5)(x+2) = x(5-x)$;

Б) $(y+2)^2 = y(3y+2)$;

В) $3(z-2)^2 = 2z + 4$;

Г) $5 - 4x = 4(x-1)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)Исходное уравнение: $(x - 5)(x + 2) = x(5 - x)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
В левой части: $(x - 5)(x + 2) = x^2 + 2x - 5x - 10 = x^2 - 3x - 10$.
В правой части: $x(5 - x) = 5x - x^2$.
Приравняем полученные выражения:
$x^2 - 3x - 10 = 5x - x^2$.
Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 3x - 10 - 5x + x^2 = 0$
$2x^2 - 8x - 10 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Легко подобрать корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Также можно решить через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6}{2}$.
$x_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Ответ: -1; 5.

б)Исходное уравнение: $(y + 2)^2 = y(3y + 2)$.
Раскроем скобки в обеих частях. В левой части применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(y + 2)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = y^2 + 4y + 4$.
В правой части раскроем скобки: $y(3y + 2) = 3y^2 + 2y$.
Приравняем выражения:
$y^2 + 4y + 4 = 3y^2 + 2y$.
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:
$0 = 3y^2 + 2y - (y^2 + 4y + 4)$
$0 = 3y^2 + 2y - y^2 - 4y - 4$
$0 = 2y^2 - 2y - 4$
Разделим обе части уравнения на 2:
$y^2 - y - 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.
Проверим с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2}$.
$y_1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$y_2 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Ответ: -1; 2.

в)Исходное уравнение: $3(z - 2)^2 = 2z + 4$.
Раскроем скобки в левой части. Сначала возведем в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(z - 2)^2 = z^2 - 2 \cdot z \cdot 2 + 2^2 = z^2 - 4z + 4$.
Теперь умножим на 3: $3(z^2 - 4z + 4) = 3z^2 - 12z + 12$.
Получаем уравнение: $3z^2 - 12z + 12 = 2z + 4$.
Перенесем все члены из правой части в левую:
$3z^2 - 12z + 12 - 2z - 4 = 0$
$3z^2 - 14z + 8 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Здесь $a=3, b=-14, c=8$.
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100$.
Найдем корни по формуле:
$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 10}{6}$.
$z_1 = \frac{14 + 10}{6} = \frac{24}{6} = 4$.
$z_2 = \frac{14 - 10}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$; 4.

г)Исходное уравнение: $5 - 4x = 4(x - 1)^2$.
Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности:
$4(x - 1)^2 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4x^2 - 8x + 4$.
Получаем уравнение: $5 - 4x = 4x^2 - 8x + 4$.
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 4x^2 - 8x + 4 - (5 - 4x)$
$0 = 4x^2 - 8x + 4 - 5 + 4x$
$0 = 4x^2 - 4x - 1$
Решим полученное квадратное уравнение $4x^2 - 4x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта. Здесь $a=4, b=-4, c=-1$.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32$.
$\sqrt{D} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
Найдем корни по формуле:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8}$.
Сократим дробь, вынеся 4 за скобки в числителе:
$x_{1,2} = \frac{4(1 \pm \sqrt{2})}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{2}}{2}$; $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$.