Номер 3.37, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.37, страница 127.

Условие.

ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (3.37-3.39)

3.37 Решите уравнение:

а) $x + \sqrt{x} - 6 = 0$;

б) $x - \sqrt{x} + 3 = 0$;

в) $x - 4\sqrt{x} + 3 = 0$;

г) $x - 9\sqrt{x} + 20 = 0$.

Указание. а) Введите замену $\sqrt{x} = y$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Данное уравнение $x + \sqrt{x} - 6 = 0$ является иррациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Для решения введем новую переменную. Пусть $y = \sqrt{x}$. Учитывая, что арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, для новой переменной $y$ действует ограничение $y \ge 0$.
Если $y = \sqrt{x}$, то $x = y^2$. Подставим это в исходное уравнение: $y^2 + y - 6 = 0$.
Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -1$ $y_1 \cdot y_2 = -6$ Отсюда корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.
Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ограничению $y \ge 0$. Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет условию ($2 \ge 0$). Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($-3 < 0$), поэтому он является посторонним.
Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $y=2$: $\sqrt{x} = 2$. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти $x$: $x = 2^2 = 4$. Найденное значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).
Ответ: 4.

б) Дано уравнение $x - \sqrt{x} + 3 = 0$. ОДЗ: $x \ge 0$.
Введем замену $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$. Уравнение принимает вид: $y^2 - y + 3 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для $y$. Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.
Ответ: корней нет.

в) Дано уравнение $x - 4\sqrt{x} + 3 = 0$. ОДЗ: $x \ge 0$.
Введем замену $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$. Подставляем в уравнение: $y^2 - 4y + 3 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 4$ $y_1 \cdot y_2 = 3$ Корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.
Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$. Выполним обратную замену для каждого из них.
1) При $y = 1$: $\sqrt{x} = 1 \implies x_1 = 1^2 = 1$.
2) При $y = 3$: $\sqrt{x} = 3 \implies x_2 = 3^2 = 9$.
Оба значения $x=1$ и $x=9$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 1; 9.

г) Дано уравнение $x - 9\sqrt{x} + 20 = 0$. ОДЗ: $x \ge 0$.
Введем замену $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$. Подставляем в уравнение: $y^2 - 9y + 20 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 9$ $y_1 \cdot y_2 = 20$ Корни $y_1 = 4$ и $y_2 = 5$.
Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$. Выполним обратную замену для каждого из них.
1) При $y = 4$: $\sqrt{x} = 4 \implies x_1 = 4^2 = 16$.
2) При $y = 5$: $\sqrt{x} = 5 \implies x_2 = 5^2 = 25$.
Оба значения $x=16$ и $x=25$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 16; 25.