Номер 3.74, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.74, страница 138.

Условие.

3.74 а) $0.02x^2 + 0.005x = 0;$

б) $\frac{x^2}{3} = \frac{x}{6};$

в) $\frac{1}{100} = \frac{x^2}{10};$

г) $-0.001 = -0.004x^2;$

д) $\frac{x-1}{5} = \frac{x^2-5}{25};$

е) $\frac{x^2}{3} = \frac{1}{27}.$

Подсказка. Преобразуйте уравнение в уравнение с целыми коэффициентами.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $0,02x^2 + 0,005x = 0$
Для того чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 1000. Это позволит нам работать с целыми коэффициентами.
$1000 \cdot (0,02x^2 + 0,005x) = 1000 \cdot 0$
$20x^2 + 5x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:
$5x(4x + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Следовательно, либо $5x = 0$, либо $4x + 1 = 0$.
Решая первое уравнение, получаем: $x_1 = 0$.
Решая второе уравнение: $4x = -1$, откуда $x_2 = -\frac{1}{4} = -0,25$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -0,25$.

б) $\frac{x^2}{3} = \frac{x}{6}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, которое равно 6.
$6 \cdot \frac{x^2}{3} = 6 \cdot \frac{x}{6}$
$2x^2 = x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x - 1) = 0$
Это равенство выполняется, если $x = 0$ или $2x - 1 = 0$.
Из первого случая имеем корень $x_1 = 0$.
Из второго случая: $2x = 1$, откуда $x_2 = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 0,5$.

в) $\frac{1}{100} = \frac{x^2}{10}$
Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от знаменателей:
$100 \cdot \frac{1}{100} = 100 \cdot \frac{x^2}{10}$
$1 = 10x^2$
Выразим $x^2$:
$x^2 = \frac{1}{10}$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Не забываем про два возможных знака корня.
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{10}}$
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{\frac{1}{10}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{1}{10}}$. Можно также записать ответ, избавившись от иррациональности в знаменателе: $x = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$.
Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{10}}{10}, x_2 = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

г) $-0,001 = -0,004x^2$
Умножим обе части уравнения на -1000, чтобы получить целые коэффициенты и избавиться от знаков минус:
$-1000 \cdot (-0,001) = -1000 \cdot (-0,004x^2)$
$1 = 4x^2$
Выразим $x^2$:
$x^2 = \frac{1}{4}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
$x = \pm\frac{1}{2}$
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 0,5$ и $x_2 = -0,5$.
Ответ: $x_1 = 0,5, x_2 = -0,5$.

д) $\frac{x-1}{5} = \frac{x^2-5}{25}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 25.
$25 \cdot \frac{x-1}{5} = 25 \cdot \frac{x^2-5}{25}$
$5(x-1) = x^2-5$
Раскроем скобки в левой части:
$5x - 5 = x^2 - 5$
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:
$0 = x^2 - 5x - 5 + 5$
$x^2 - 5x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 5) = 0$
Отсюда следует, что $x = 0$ или $x - 5 = 0$.
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 5$.

е) $\frac{x^2}{3} = \frac{1}{27}$
Умножим обе части уравнения на 27, чтобы избавиться от знаменателей:
$27 \cdot \frac{x^2}{3} = 27 \cdot \frac{1}{27}$
$9x^2 = 1$
Выразим $x^2$:
$x^2 = \frac{1}{9}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$
$x = \pm\frac{1}{3}$
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = -\frac{1}{3}$.