Номер 3.81, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.81, страница 139.

Условие.

Решите уравнение (3.81–3.83).

3.81 a) $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(x+1)^2}{2} = 2;$

б) $\frac{(x-3)^2}{3} + 3 = \frac{(x-2)^2}{2};$

В) $(x-2)^2 - \frac{(x-3)^2}{3} = 1;$

Г) $\frac{(x+4)^2}{2} - \frac{1}{3} = (x+2)^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(x+1)^2}{2} = 2$

Для решения данного уравнения приведем все члены к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 2 равен 4. Умножим обе части уравнения на 4:

$4 \cdot \frac{(x-2)^2}{4} + 4 \cdot \frac{(x+1)^2}{2} = 4 \cdot 2$

$(x-2)^2 + 2(x+1)^2 = 8$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^2 - 4x + 4) + 2(x^2 + 2x + 1) = 8$

$x^2 - 4x + 4 + 2x^2 + 4x + 2 = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2) + (-4x + 4x) + (4 + 2) = 8$

$3x^2 + 6 = 8$

Перенесем 6 в правую часть:

$3x^2 = 8 - 6$

$3x^2 = 2$

$x^2 = \frac{2}{3}$

Отсюда находим корни уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{6}}{3}, x_2 = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.

б) $\frac{(x-3)^2}{3} + 3 = \frac{(x-2)^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$6 \cdot \frac{(x-3)^2}{3} + 6 \cdot 3 = 6 \cdot \frac{(x-2)^2}{2}$

$2(x-3)^2 + 18 = 3(x-2)^2$

Раскроем скобки:

$2(x^2 - 6x + 9) + 18 = 3(x^2 - 4x + 4)$

$2x^2 - 12x + 18 + 18 = 3x^2 - 12x + 12$

$2x^2 - 12x + 36 = 3x^2 - 12x + 12$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 2x^2 - 12x + 12x + 12 - 36 = 0$

$x^2 - 24 = 0$

$x^2 = 24$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{24} = \pm\sqrt{4 \cdot 6} = \pm 2\sqrt{6}$

Ответ: $x_1 = 2\sqrt{6}, x_2 = -2\sqrt{6}$.

в) $(x-2)^2 - \frac{(x-3)^2}{3} = 1$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$3(x-2)^2 - (x-3)^2 = 3$

Раскроем скобки:

$3(x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 6x + 9) = 3$

$3x^2 - 12x + 12 - x^2 + 6x - 9 = 3$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - x^2) + (-12x + 6x) + (12 - 9) = 3$

$2x^2 - 6x + 3 = 3$

$2x^2 - 6x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x-3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 3$.

г) $\frac{(x+4)^2}{2} - \frac{1}{3} = (x+2)^2$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$6 \cdot \frac{(x+4)^2}{2} - 6 \cdot \frac{1}{3} = 6 \cdot (x+2)^2$

$3(x+4)^2 - 2 = 6(x+2)^2$

Раскроем скобки:

$3(x^2 + 8x + 16) - 2 = 6(x^2 + 4x + 4)$

$3x^2 + 24x + 48 - 2 = 6x^2 + 24x + 24$

$3x^2 + 24x + 46 = 6x^2 + 24x + 24$

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

$6x^2 - 3x^2 + 24x - 24x + 24 - 46 = 0$

$3x^2 - 22 = 0$

$3x^2 = 22$

$x^2 = \frac{22}{3}$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\frac{22}{3}} = \pm\frac{\sqrt{22} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{66}}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{66}}{3}, x_2 = -\frac{\sqrt{66}}{3}$.