Номер 3.83, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.83, страница 139.

Условие.

3.83 a) $(x^2 - 1)^3 + 2(x^2 - 1)^2 = 0;$

б) $x^2(x - 1) - 3x(x - 1) = 0;$

в) $x^2(x^2 - 3)^2 - 4(x^2 - 3) = 0;$

г) $x^2(x - 5)^2 - 5(x - 5)^2 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x^2 - 1)^3 + 2(x^2 - 1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)^2$ за скобки:
$(x^2 - 1)^2 \cdot [ (x^2 - 1) + 2 ] = 0$
Упростим выражение в скобках:
$(x^2 - 1)^2 \cdot (x^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $(x^2 - 1)^2 = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
2) $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: $-1; 1$.

б) $x^2(x - 1) - 3x(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $x(x - 1)$ за скобки:
$x(x - 1)(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x = 0$
2) $x - 1 = 0 \implies x = 1$
3) $x - 3 = 0 \implies x = 3$

Ответ: $0; 1; 3$.

в) $x^2(x^2 - 3)^2 - 4(x^2 - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 - 3)$ за скобки:
$(x^2 - 3) \cdot [x^2(x^2 - 3) - 4] = 0$
Раскроем скобки во втором множителе:
$(x^2 - 3)(x^4 - 3x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.
2) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, при этом $t \geq 0$.
$t^2 - 3t - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \geq 0$, поэтому он является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_1 = 4$:
$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Объединяем все найденные корни.

Ответ: $-2; 2; -\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

г) $x^2(x - 5)^2 - 5(x - 5)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 5)^2$ за скобки:
$(x - 5)^2 (x^2 - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $(x - 5)^2 = 0 \implies x - 5 = 0 \implies x = 5$.
2) $x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$.

Ответ: $5; -\sqrt{5}; \sqrt{5}$.