Номер 3.82, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.82, страница 139.

Условие.

3.82 a) $(2x + 1)^2 = 2x + 1;$

Б) $(y - 2)^2 - 4 = 0;$

В) $(3x - 1)^2 = 2(3x - 1);$

Г) $9 - (2x - 3)^2 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(2x + 1)^2 = 2x + 1$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$(2x + 1)^2 - (2x + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(2x + 1)$ за скобки:
$(2x + 1)((2x + 1) - 1) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(2x + 1)(2x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$2x + 1 = 0$ или $2x = 0$
Решаем каждое уравнение:
Из $2x + 1 = 0$ получаем $2x = -1$, откуда $x = -1/2 = -0.5$.
Из $2x = 0$ получаем $x = 0$.
Ответ: $-0.5; 0$.

б) $(y - 2)^2 - 4 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$(y - 2)^2 = 4$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, не забывая про знак $\pm$ в правой части:
$y - 2 = \pm\sqrt{4}$
$y - 2 = \pm 2$
Это приводит к двум линейным уравнениям:
1) $y - 2 = 2 \Rightarrow y = 2 + 2 \Rightarrow y_1 = 4$
2) $y - 2 = -2 \Rightarrow y = -2 + 2 \Rightarrow y_2 = 0$
Ответ: $0; 4$.

в) $(3x - 1)^2 = 2(3x - 1)$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$(3x - 1)^2 - 2(3x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(3x - 1)$ за скобки:
$(3x - 1)((3x - 1) - 2) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(3x - 1)(3x - 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$3x - 1 = 0$ или $3x - 3 = 0$
Решаем каждое уравнение:
Из $3x - 1 = 0$ получаем $3x = 1$, откуда $x = 1/3$.
Из $3x - 3 = 0$ получаем $3x = 3$, откуда $x = 1$.
Ответ: $1/3; 1$.

г) $9 - (2x - 3)^2 = 0$
Это уравнение является разностью квадратов. Представим 9 как $3^2$:
$3^2 - (2x - 3)^2 = 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3$ и $b = 2x - 3$:
$(3 - (2x - 3))(3 + (2x - 3)) = 0$
Раскроем внутренние скобки:
$(3 - 2x + 3)(3 + 2x - 3) = 0$
Упростим выражения в каждой скобке:
$(6 - 2x)(2x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$6 - 2x = 0$ или $2x = 0$
Решаем каждое уравнение:
Из $6 - 2x = 0$ получаем $2x = 6$, откуда $x = 3$.
Из $2x = 0$ получаем $x = 0$.
Ответ: $0; 3$.